高中数学选修2-1新教学案:第三章空间向量与立体几何检测题文档格式.doc
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A. B. C. D.
6.若二面角为,直线,则所在平面内的直线与所成角的取值范围是_______________________;
7.已知正四棱锥的所有棱长均相等,则侧面与底面所成二面角的余弦值为______________.
8.空间四边形中,、分别是、中点.若,,.
则与所成的角为_________________.
9.半球内有一内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内.若正方体的棱长为,
则半球的体积为___.
10.P
在正四棱柱中,,为的中点.
(1)求直线与平面所成的角;
(2)求异面直线与所成的角;
(3)求点到平面的距离.
A1
B1
C1
A
C
B
11.如图,在三棱柱中,四边形是菱形,四边形是矩形,,,,.
(1)求证:
平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值;
(3)求点到平面的距离.
12.如图,已知长方体直线与平面所成的角为,垂直于,为的中点.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求平面与平面所成的二面角;
13.如图,在四面体中,,,,,是线段上一点,,点在线段上,且.
平面;
(2)求二面角的大小.
14.在四棱锥中,,∥,底面,,
直线与底面成角,点、分别是、的中点.
(1)求二面角的大小;
(2)如果△为直角三角形,求的值.
15.如图,已知四棱锥,平面,底面为直角梯形,,且∥,.
(1)点在线段上运动,且设,问为何值时,
∥平面?
并证明你的结论;
(2)若二面角为45°
,求二面角的大小;
(3)在
(2)的条件下,若,,求点到平面的距离.
答案
1.2.3.C4.A5.B
6.7.8.9.
10.
(1)∵平面,平面,
∴.
在矩形中,,,为的中点,
∴.
∴平面,
∴为直线与平面所成的角.
∵,,
∴在中,,
∴直线与平面所成的角为.
(2)取中点,连结、,在正四棱柱中,有∥,
∴为异面直线与所成的角.
在中,
∴.
∴异面直线与所成的角为.(也可用向量法)
(3)过点作于,
由题
(1)平面,
∴,
∴平面,
∴的长即为点到平面的距离.
在中,,,
∴.
11.
(1)证:
∵四边形是矩形,
又∵,
∴平面.
∵平面,∴平面平面.
(2)解:
过作于,连接.
∵平面,
∴,
∴平面,故为直线与平面所成的角.
在矩形中,,
∵四边形是菱形,,,
∴,∴.
(3)∵∥,∴∥平面,
∴到平面的距离即为到平面的距离.
连结,设.
∵四边形是菱形,
∵平面⊥平面,
∴即为到平面的距离.
∵,
∴到平面的距离为.
12.在长方体中,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立如图示空间直角坐标系.
由已知可得,.
又平面,
从而与平面所成的角为.
又,,.
从而易得.
(1)∵,,
易知异面直线所成的角为
(2)易知平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量.
.
由.即.
即平面与平面所成的二面角的大小(锐角)为.
(3)点到平面的距离,即在平面的法向量上的投影的绝对值,
∴距离.
∴点到平面的距离为.
13.(I)证明:
∵,
∴△是以为直角的直角三角形.
同理可证,△是以为直角的直角三角形,
△是以为直角的直角三角形.
故平面.
又∵.
而.
故,又已知.
(II)由(I)知,平面,
∴是在平面上的射影,故.
在平面内,过作垂直于于,
则平面.
是在平面上的射影,∴.
故是二面角的平面角.
∴二面角的大小为.
14.解法一:
(1)为二面角的平面角.
计算得二面角的大小为.
(2)①若,与题意不符;
②若,可算得;
③若,可算得.
解法二:
用向量方法(略).
15.
(1)当时,∥平面.
证明:
取中点,则∥,且.
又∥,且,
∴四边形为平行四边形.
∴∥.
又平面,
∴∥平面.
(2)平面,,
∴,即是二面角的平面角,.
∴△为等腰直角三角形,∴.
又∥,
∴平面.
平面,
∴平面⊥平面,即二面角的大小为.
(3)在平面内作于点,
由平面⊥平面,且平面平面,
∴平面.
在中,,
在中,,
将代入得,.
即点到平面的距离为.
又,
∴平面,
7
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