高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)Word下载.doc

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（1）一般式：

Ax+By+C=0；

（2）点斜式：

y-y0=k（x-x0）；

（3）斜截式：

y=kx+b；

（4）截距式：

；

（5）两点式：

（6）法线式方程：

xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；

（7）参数式：

（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0,y0）到动点P（x,y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。

5．到角与夹角：

若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；

l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tanα=.

6．平行与垂直：

若直线l1与l2的斜率分别为k1,k2。

且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；

l1l2的充要条件是k1k2=-1。

7．两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）间的距离公式：

|P1P2|=。

8．点P（x0,y0）到直线l:

Ax+By+C=0的距离公式：

。

9．直线系的方程：

若已知两直线的方程是l1：

A1x+B1y+C1=0与l2：

A2x+B2y+C2=0，则过l1,l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2=0；

由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；

与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0（）.

10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0.若B>

0，则Ax+By+C>

0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C<

0表示的区域为l下方的部分。

11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：

（1）确定各变量，并以x和y表示；

（2）写出线性约束条件和线性目标函数；

（3）画出满足约束条件的可行域；

（4）求出最优解。

12．圆的标准方程：

圆心是点（a,b），半径为r的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，其参数方程为（θ为参数）。

13．圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>

0）。

其圆心为，半径为。

若点P（x0,y0）为圆上一点，则过点P的切线方程为

①

14．根轴：

到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。

给定如下三个不同的圆：

x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,i=1,2,3.则它们两两的根轴方程分别为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0;

（D2-D3）x+（E2-E3）y+（F2-F3）=0;

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0。

不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。

二、方法与例题

1．坐标系的选取：

建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。

例1 

在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：

∠ADB=∠CDE。

[证明] 

见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。

设点B，C坐标分别为（0,2a）,（2a,0），则点D坐标为（a,0）。

直线BD方程为， 

①直线BC方程为x+y=2a， 

②设直线BD和AE的斜率分别为k1,k2，则k1=-2。

因为BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直线AE方程为，由解得点E坐标为。

所以直线DE斜率为因为k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。

例2 

半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。

证明：

三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。

以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2，设⊙D的半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F，设半径为r，则直线AB，AC的方程分别为,.设⊙D的方程为（x-m）2+y2=r2.①设点E，F的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2），则，分别代入①并消去y得

所以x1,x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的两根。

由韦达定理，所以

|EF|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2+3（x1-x2）2

=4（x1+x2）2-4x1x2=m2-（m2-r2）=r2.

所以|EF|=r。

所以∠EDF=600。

2．到角公式的使用。

例3 

设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正ΔPQR三顶点在此双曲线上，求证：

P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。

假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0<

x1<

x2<

x3.记∠RQP=θ，它是直线QR到PQ的角，由假设知直线QR，PQ的斜率分别为，

由到角公式

所以θ为钝角，与ΔPQR为等边三角形矛盾。

所以命题成立。

3．代数形式的几何意义。

例4 

求函数的最大值。

[解] 

因为表示动点P（x,x2）到两定点A（3,2）,B（0,1）的距离之差，见图10-3，当AB延长线与抛物线y=x2的交点C与点P重合时，f（x）取最大值|AB|=

4．最值问题。

例5 

已知三条直线l1:

mx-y+m=0,l2:

x+my-m（m+1）=0,l3:

（m+1）x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。

[解]记l1,l2,l3的方程分别为①，②，③。

在①，③中取x=-1,y=0，知等式成立，所以A（-1,0）为l1与l3的交点；

在②，③中取x=0,y=m+1，等式也成立，所以B（0,m+1）为l2与l3的交点。

设l1,l2斜率分别为k1,k2,若m0，则k1?

k2=,SΔABC=，由点到直线距离公式|AC|=，|BC|=。

所以SΔABC=。

因为2m≤m2+1，所以SΔABC≤。

又因为-m2-1≤2m，所以，所以SΔABC≥

当m=1时，（SΔABC）max=；

当m=-1时，（SΔABC）min=.

5．线性规划。

例6 

设x,y满足不等式组

（1）求点（x,y）所在的平面区域；

（2）设a>

-1，在

（1）区域里，求函数f（x,y）=y-ax的最大值、最小值。

[解]

（1）由已知得或

解得点（x,y）所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。

AB：

y=2x-5；

CD：

y=-2x+1；

AD：

x+y=1；

BC：

x+y=4.

（2）f（x,y）是直线l:

y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a>

-1，所以它过顶点C时，f（x,y）最大，C点坐标为（-3，7），于是f（x,y）的最大值为3a+7.如果-1<

a≤2，则l通过点A（2，-1）时，f（x,y）最小，此时值为-2a-1；

如果a>

2，则l通过B（3，1）时，f（x,y）取最小值为-3a+1.

6．参数方程的应用。

例7 

如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+（y-1）2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。

设直线OP的参数方程为（t参数）。

代入已知圆的方程得t2-t?

2sinα=0.

所以t=0或t=2sinα。

所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.

所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.

所以|t-2sinα|=|2-tsinα|.化简得t=2或t=-2或sinα=-1.

当t=±

2时，轨迹方程为x2+y2=4；

当sinα=1时，轨迹方程为x=0.

7．与圆有关的问题。

例8 

点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定ΔAT1T2垂心的轨迹。

见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1T2与OM的交点，记BC=1。

以A为圆心的圆方程为x2+y2=16，连结OT1，OT2。

因为OT2MT2，T1HMT2，所以OT2//HT1，同理OT1//HT2，又OT1=OT2，所以OT1HT2是菱形。

所以2ON=OH。

又因为OMT1T2，OT1MT1，所以ON?

OM。

设点H坐标为（x,y）。

点M坐标为（5,b），则点N坐标为，将坐标代入=ON?

OM，再由得

在AB上取点K，使AK=AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。

例9 

已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：

sin（α+β）是定值。

过D作ODAB于D。

则直线OD的倾斜角为，因为ODAB，所以2?

所以。

所以

例10 

已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。

[解]以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A（cosα,sinα）,B（cosα,-sinα），由题设|AD|=|AB|=2sinα，这里不妨设A在x轴上方，则α∈（0,π）.由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为（cosα+2sinα,sinα），

所以|OD|=

=

因为，所以

当时，|OD|max=+1；

当时，|OD|min=

例11 

当m变化且m≠0时，求证：

圆（x-2m-1）2+（y-m-1）2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。

由消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。

设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2|m|=，对一切m≠0成立。

即（-4k-3）m2+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）2=0对一切m≠0成立

所以即当k不存在时直线为x=1。

所以公切线方程y=和x=1.

三、基础训练题

1．已知两点A（-3,4）和B（3,2），过点P（2,-1）的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是__________.

2．已知θ∈[0,π]，则的取值范围是__________.

3．三条直线2x+3y-6=0,x-y=2,3x+y+2=0围成一个三角形，当点P（x,y）在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是__________.

4．若三条直线4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是__________.

5．若λ∈R。

直线（2+λ）x-（1+λ）y-2（