高中数学立体几何讲义(一)文档格式.doc
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应用:
是判定直线是否在平面内的依据,也是检验平面的方法。
公理2:
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
且且唯一如图示:
①确定两相交平面的交线位置;
②判定点在直线上。
α
D
C
B
A
E
F
H
G
例1.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:
E,F,G,H四点必定共线.
解:
∵AB∥CD,
∴AB,CD确定一个平面β.
又∵ABα=E,ABβ,∴E∈α,E∈β,
即E为平面α与β的一个公共点.
同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点.
∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,
∴E,F,G,H四点必定共线.
说明:
在立体几何的问题中,证明若干点共线时,常运用公理2,即先证明这些点都是某二平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.
l
例2
β
M
例2.如图,已知平面α,β,且αβ=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且ABα,CDβ,求证:
AB,CD,l共点(相交于一点).
证明∵梯形ABCD中,AD∥BC,
∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰.
∴AB,CD必定相交于一点,
设ABCD=M.
又∵ABα,CDβ,∴M∈α,且M∈β.∴M∈αβ.
又∵αβ=l,∴M∈l,
即AB,CD,l共点.
证明多条直线共点时,一般要应用公理2,这与证明多点共线是一样的.
公理3:
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
不共线存在唯一的平面,使得。
①确定平面;
②证明两个平面重合。
例3.已知:
a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证:
a,b,c,d共面.
证明1o若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点A,
但AÏ
d,如图1.
b
a
d
c
图1
∴直线d和A确定一个平面α.
又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,
则A,E,F,G∈α.
∵A,E∈α,A,E∈a,∴aα.
同理可证bα,cα.
∴a,b,c,d在同一平面α内.
K
图2
2o当四条直线中任何三条都不共点时,如图2.
∵这四条直线两两相交,则设相交直线a,b确定一个平面α.
设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K∈α.
又H,K∈c,∴c,则cα.
同理可证dα.
∴a,b,c,d四条直线在同一平面α内.
证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:
首先根据公理3或推论,由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.
“有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。
推论1:
经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。
存在唯一的平面,使得,。
推论2:
经过两条相交直线有且只有一个平面。
存在唯一的平面,使得。
推论3:
经过两条平行直线有且只有一个平面。
练习:
1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的中,A1C1B1D1=O1,B1D平面A1BC1=P.
求证:
P∈BO1.
证明在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
A1
B1
D1
C1
O1
P
∵B1D平面A1BC1=P,∴P∈平面A1BC1,P∈B1D.
∵B1D平面BB1D1D.∴P∈平面A1BC1,且P∈平面BB1D1D.
∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D,
∵A1C1B1D1=O1,A1C1平面A1BC1,B1D1平面BB1D1D,
∴O1∈平面A1BC1,且O1∈平面BB1D1D.
又B∈平面A1BC1,且B∈平面BB1D1D,
∴平面A1BC1平面BB1D1D=BO1.∴P∈BO1
说明一般地,要证明一个点在某条直线上,只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。
(Ⅱ)、空间两条直线
1、空间两直线的位置关系:
(1)相交——有且只有一个公共点;
(2)平行——在同一平面内,没有公共点;
(3)异面——不在任何一个平面内,没有公共点;
2、公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3、等角定理:
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
4、等角定理的推论:
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。
5、异面直线判定定理:
连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
与是异面直线。
异面直线的判定方法:
①判定定理;
②定义法;
③反证法是证明两直线异面的有效方法。
例1.已知不共面的三条直线、、相交于点,,,,,求证:
与是异面直线.
证一:
(反证法)假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P、A、B、C、D都在平面α内,∴直线a、b、c都在平面α内,与已知条件a、b、c不共面矛盾,假设不成立,∴AD和BC是异面直线。
证二:
(直接证法)∵a∩c=P,∴它们确定一个平面,设为α,由已知C平面α,B∈平面α,AD平面α,BAD,∴AD和BC是异面直线。
6、异面直线所成的角:
已知两条异面直线,经过空间任一点作直线,所成的角的大小与点的选择无关,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).为了简便,点通常取在异面直线的一条上。
异面直线所成的角的范围:
7、异面直线垂直:
如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直线垂直,记作。
8、求异面直线所成的角的方法:
几何法:
(1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线;
(2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。
向量法:
用向量的夹角公式。
例2.在正方体中,、分别是棱和的中点,为上底面的中心,则直线与所成的角为(A)
300450600
例3.一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间,AB与所成角为,与所成角为,且,,,、是垂足,求
(1)的长;
(2)与所成的角
(1)连BC、AD,可证AC⊥β,BD⊥α,∴ABC=300,
∠BAD=450,Rt△ACB中,BC=AB·
cos300=,
在Rt△ADB中,BD=AB·
sin450=
在Rt△BCD中,可求出CD=1cm(也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·
BD·
cos900求得)
(2)作BE//l,CE//BD,BE∩CE,则∠ABE就是AB与CD所成的角,连AE,由三垂线定理可证BE⊥AE,先求出AE=,再在Rt△ABE中,求得∠ABE=600。
在(3)中也可作CH⊥AB于H,DF⊥AB于F,HF即为异面直线CH、DF的公垂线,利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·
CH·
DFcosα,求出cosα=。
9、两条异面直线的公垂线、距离:
和两条异面直线都垂直相交的直线,我们称之为异面直线的公垂线。
理解:
因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离。
两条异面直线的公垂线有且只有一条。
计算方法:
①几何法;
②向量法。
例4.在棱长为的正四面体中,相对两条棱间的距离为___.(答案:
)
例5.两条异面直线、间的距离是1cm,它们所成的角为600,、上各有一点A、B,距公垂线的垂足都是10cm,则A、B两点间的距离为_______.
答案:
O
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的中,求证:
B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段.
证明:
如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
连结B1D1,A1C1,BD,AC.
设B1D1A1C1=M,BDAC=N.
∴M,N分别是B1D1,AC的中点.
连结BM,D1N.
∵BB1∥DD1,且BB1=DD1,
∴四边形BDD1B1是平行四边形.
在平面BDD1B1中,设B1DBM=O,B1DD1N=O1,
N
在平行四边形BDD1B1中,
∵D1M∥NB,且D1M=NB,
∴四边形BND1M是平行四边形.
∴BM∥ND1,即OM∥O1D1,
∴O是BO1的中点,即O1O=OB1.
同理,OO1=O1D.
∴O1O=OB1=O1D.
综上,OB1∶OD1=1∶2.
2.如图,已知平面α、β交于直线,AB、CD分别在平面α,β内,且与分别交于B,D两点.若∠ABD=∠CDB,试问AB,CD能否平行?
并说明理由.
直线AB,CD不能平行.否则,若AB∥CD,则AB∥CD共面,记这个平面为γ.
α
β
∴AB,CDγ.
∴ABα,D∈γ.
由题知,ABα,D∈α,且DÏ
AB,
根据过一条直线及这条直线外一点,有且仅有一个平面,α与γ重合.
同理,β与γ重合.
∴α与β重合,这与题设矛盾.
∴AB,CD不能平行.
3.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,求证:
CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线.
假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线.
设直线CD1与BC1共面α.
∵C,D1∈CD1,B,C1∈BC1,∴C,D1,B,C1∈α.
∵CC1∥BB1,∴CC1,BB1确定平面BB1C1C,
∴C,B,C1∈平面BB1C1C.
∵不共线的三点C,B,C1只有一个平面,
∴平面α与平面BB1C1C重合.
∴D1∈平面BB1C1C,矛盾.
因此,假设错误,即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线.
基
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