高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案Word文档下载推荐.doc
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,
评注:
已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
二、叠乘法
1.○。
------------ 适用于:
----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2.若,则
两边分别相乘得,
例3.已知数列满足,,求。
由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
练习1.已知数列满足,求数列的通项公式。
因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
练习2.设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=________.
已知等式可化为:
()(n+1),即
时,
==.
本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.
练习.已知,求数列{an}的通项公式.
-1.
本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
1.形如,其中)型
(1)若c=1时,数列{}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{}为等比数列;
(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:
设,
得,与题设比较系数得
所以所以有:
因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,
所以即:
.
规律:
将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
例4.已知数列中,,求数列的通项公式。
又是首项为2,公比为2的等比数列
,即
四.逐项相减法(逐差法1):
有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型
(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例5已知数列中,,求数列的通项公式。
两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……
练习.已知数列中,求通项。
2.形如:
(其中q是常数,且n0,1)
①若p=1时,即:
,累加即可.
②若时,即:
求通项方法有以下三种方向:
i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即:
令,则,然后类型1,累加求通项.
ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。
令,则可化为.然后转化为类型5来解,
iii.待定系数法:
目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.
注意:
应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。
例6已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一(待定系数法):
设,比较系数得,
则数列是首项为,公比为2的等比数列,
所以,即
解法二(两边同除以):
两边同时除以得:
,下面解法略
解法三(两边同除以):
练习.已知数列中,,,求。
在两边乘以得:
令,则,应用例7解法得:
3.形如(其中k,b是常数,且)
方法1:
逐项相减法(逐差法)
方法2:
待定系数法
通过凑配可转化为;
解题基本步骤:
1、确定=kn+b
2、设等比数列,公比为p
3、列出关系式,即
4、比较系数求x,y
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例7在数列中,求通项.(逐项相减法)
,①
时,,
两式相减得.令,则
利用类型5的方法知即②
再由累加法可得.亦可联立①②解出.
练习.在数列中,,求通项.(待定系数法)
原递推式可化为
比较系数可得:
x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列,首项,公比为.即:
故.
5.形如时将作为求解
分析:
原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。
例8已知数列满足,求数列的通项公式。
设
比较系数得或,不妨取,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)
则,则是首项为4,公比为3的等比数列
,所以
练习1.数列中,若,且满足,求.
.
练习2.已知数列,
求数列的通项公式an.
所以
又bn=-1,所以.
本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法3:
设c,则c,转化为上面类型
(1)来解
五、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
例9已知数列满足,求数列的通项公式。
求倒数得为等差数列,首项,公差为,
六、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>
0,
例10.设正项数列满足,(n≥2).求数列的通项公式.
两边取对数得:
,,设,则是以2为公比的等比数列,,,,∴
练习数列中,,(n≥2),求数列的通项公式.
例11已知数列满足,,求数列的通项公式。
因为,所以。
两边取常用对数得
设 (同类型四)
比较系数得,
由,得,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此
则。
七、换元法适用于含根式的递推关系
例12已知数列满足,求数列的通项公式。
令,则
代入得
即
因为,
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
。
八、逐差法2(逐项相减法)
1、递推公式中既有,又有
把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。
例13已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。
∵对任意有⑴
∴当n=1时,,解得或
当n≥2时,⑵
⑴-⑵整理得:
∵各项均为正数,∴
当时,,此时成立
当时,,此时不成立,故舍去
练习。
已知数列中,且,求数列的通项公式.
2、对无穷递推数列
例14已知数列满足,求的通项公式。
因为 ①
所以 ②
用②式-①式得
则故
所以 ③
由,,则,又知,则,代入③得。
所以,的通项公式为
数列的通项公式与求和
练习1
练习2
练习3
练习4
练习5
练习6
练习7
练8若等比数列的前项和Sn=2n-1,则
练习9求和:
5,55,555,5555,…,,…;
练习10求和:
练习11已知求和:
练习12设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且
,,
(Ⅰ)求,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
答案
练习1答案:
练习2证明:
(1)注意到:
a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得:
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S
(1)/1=a
(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由
(1)知,
{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列。
所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1)(*)
代入a(n+1)=S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)(n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N且n>
1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N)
由(*)式得:
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知:
S(n+1)=4*a(n
练习3答案:
1)
a1=S1=1/3(a1-1)
a1=-1/2
a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2
3a2=a2-1+3/2
2a2=1/2
a2=1/4
2)
3Sn=an-1
3S(n-1)=a(n-1)-1
相减:
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/2
所以{an}为等比数列!
练习4累加法,答案:
练习5累乘法,答案:
练习6待定系数法,答案:
练习7倒数法,答案:
练习8公式法,答案:
练习9答案:
.
练习10,列项相消法,答案
练习11,,列项相消法
1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)
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