高中数学必修5常考题型:数列求和(复习课)文档格式.doc
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如果一个数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法.
【常考题型】
题型一、分组转化法求和
【例1】 已知数列{cn}:
1,2,3,…,试求{cn}的前n项和.
[解] 令{cn}的前n项和为Sn,
则Sn=1+2+3+…+
=(1+2+3+…+n)+
=+
=+1-n.
即数列{cn}的前n项和为Sn=+1-n.
【类题通法】
当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.
【对点训练】
1.求和:
Sn=3+33+333+…+.
解:
数列3,33,333,…,的通项公式
an=(10n-1).
∴Sn=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)
=(10+102+…+10n)-
=×
-
=(10n-1)-.
题型二、错位相减法求和
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·
bn}的前n项和Tn.
[解]
(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,
所以an=4n-1,n∈N*.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.
(2)由
(1)知an·
bn=(4n-1)·
2n-1,n∈N*,
所以Tn=3+7×
2+11×
22+…+(4n-1)·
2n-1,2Tn=3×
2+7×
22+…+(4n-5)·
2n-1+(4n-1)·
2n,
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.
如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·
bn}的前n项和时,可采用错位相减法.
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
2.已知an=,求数列{an}的前n项和Sn.
Sn=+++…++,
Sn=++…++,
两式相减得Sn=+++…+-
=-=--,
∴Sn=--=-.
题型三、裂项相消法求和
【例3】 已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
[解]
(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由于a3=7,a5+a7=26,
∴a1+2d=7,2a1+10d=26,
解得a1=3,d=2.
由于an=a1+(n-1)d,Sn=,
∴an=2n+1,Sn=n(n+2).
(2)∵an=2n+1,
∴a-1=4n(n+1),
因此bn==.
故Tn=b1+b2+…+bn
=
=.
∴数列{bn}的前n项和Tn=.
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察是否能分解成两项的差,这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项,即这两项的结论应一致.
3.在数列{an}中,an=++…+,且bn=,求数列{bn}的前n项的和.
an=(1+2+…+n)=,
∵bn=,
∴bn==8(-),
∴数列{bn}的前n项和为
Sn=8[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=8(1-)=.
【练习反馈】
1.已知an=(-1)n,数列{an}的前n项和为Sn,则S9与S10的值分别是( )
A.1,1 B.-1,-1
C.1,0 D.-1,0
解析:
选D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,
S10=S9+a10=-1+1=0.
2.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为( )
A. B.
C. D.
选B 依题意bn====-,所以{bn}的前10项和为S10=+++…+=-=,故选B.
3.求和:
Sn=1+++1++++…+=________.
被求和式的第k项为:
ak=1+++…+==2.
所以Sn=2
=2
=2n+-2.
答案:
2n+-2
4.已知数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于________.
an==1-
∴Sn=n-=n-1+==5+,
∴n=6.
6
5.已知等比数列{an}中,a2=8,a5=512.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)==64=q3,
∴q=4.
∴an=a2·
4n-2=8×
4n-2=22n-1.
(2)由bn=nan=n×
22n-1知Sn=1×
2+2×
23+3×
25+…+n×
22n-1①,
从而22×
Sn=1×
23+2×
25+3×
27+…+n×
22n+1②,
①-②得(1-22)×
Sn=2+23+25+…+22n-1-n×
22n+1,即Sn=[(3n-1)22n+1+2].
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