高中数学必修2知识点和例题讲义Word文件下载.doc
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(2)是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱台
(2)是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分.
圆台
(2)是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分.
球
(1)球心到球面上各点的距离相等;
(2)是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.
1.下列说法错误的是()
A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形答案:
D
2.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为___________cm.答案:
12
3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是___________.
答案:
棱锥、棱柱、棱台、圆锥
第2讲§
1.1.2简单组合体的结构特征
例题精讲:
【例1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有().
A.1个B.2个C.3个D.4个选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,求球的半径.
解:
圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为,
所以,球的半径为.
第3讲§
1.2.2空间几何体的三视图
【例1】画出下列各几何体的三视图:
【例2】画出下列三视图所表示的几何体.
【例3】如图,图
(1)是常见的六角螺帽,图
(2)是一个机器零件(单位:
cm),所给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图.
解
第
第4讲§
1.2.3空间几何体的直观图
“直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法.基本步骤如下:
(1)建系:
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,得到直角坐标系,直观图中画成斜坐标系,两轴夹角为.
(2)平行不变:
已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.(3)长度规则:
已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;
平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
第5讲§
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
学习目标:
了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式);
能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.
表面积相关公式
(r:
底面半径,h:
高)
底面半径,l:
母线长)
(r:
下底半径,r’:
上底半径,l:
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.解:
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示,求这个正三棱柱的表面积.
.
第6讲§
1.3.1柱体、锥体、台体的体积
1.体积公式:
体积公式
2.柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;
当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时,它就成了柱体.因而体积会有以下的关系:
.
【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则长方体的体积是.解:
设长方体的长宽高分别为,则,三式相乘得.所以,长方体的体积为6.
【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
如图,设所截等腰三角形的底边边长为.
在中,,所以,于是.依题意函数的定义域为.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为,母线长为6,现将该容器盛满水,然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的时,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .
容器中水的体积为.流出水的体积为,如图,.设圆柱的母线与水平面所成的角为α,则,解得.
第7讲§
1.3.2球的体积和表面积
1.表面积:
(R:
球的半径).2.体积:
【例2】表面积为的球,其内接正四棱柱的高是,求这个正四棱柱的表面积.
设球半径为,正四棱柱底面边长为,则作轴截面如图,,,又∵,∴,∴,∴,∴.
【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是().A. B. C. D.
【解】由已知可得,A、B、C、D在球的一个小圆上.∵AB=BC=CD=DA=3,∴四边形为正方形.∴小圆半径.
由得,解得.∴球的体积.所以选A.
第8讲§
2.1.1平面
1.点在直线上,记作;
点在平面内,记作;
直线在平面内,记作.
2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
3.公理2的三条推论:
推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面?
【例2】空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,已知EF和GH交于P点,求证:
EF、GH、AC三线共点.
∵PEF,EF面ABC,∴P面ABC.同理P面ADC.∵P在面ABC与面ADC的交线上,又∵面ABC∩面ADC=AC,∴PAC,即EF、HG、AC三线共点.
【例3】求证:
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知:
直线两两相交,交点分别为,求证:
直线共面.
证明:
因为A,B,C三点不在一条直线上,所以过A,B,C三点可以确定平面α.因为A∈α,B∈α,所以ABα.同理BCα,ACα.所以AB,BC,CA三直线共面.
【例4】在正方体中,
(1)与是否在同一平面内?
(2)点是否在同一平面内?
(3)画出平面与平面的交线,平面与平面的交线.
(1)在正方体中,∵,∴由公理2的推论可知,与可确定平面,∴与在同一平面内.
(2)∵点不共线,由公理3可知,点可确定平面,∴点在同一平面内.
(3)∵,,∴点平面,平面,又平面,平面,∴平面平面,同理平面平面.
第9讲§
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1.空间两条直线的位置关系:
2.已知两条异面直线,经过空间任一点作直线,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).所成的角的大小与点的选择无关,为了简便,点通常取在异面直线的一条上;
异面直线所成的角的范围为,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:
选点→平移→定角→计算.
【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°
,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成角都是30°
的直线有且仅有().
A.1条B.2条C.3条D.4条
过P作∥a,∥b,若P∈a,则取a为,若P∈b,则取b为.这时,相交于P点,它们的两组对顶角分别为50°
和130°
.记,所确定的平面为β,那么在平面β内,不存在与,都成30°
的直线.过点P与,都成30°
角的直线必在平面β外,这直线在平面β的射影是,所成对顶角的平分线.其中射影是50°
对顶角平分线的直线有两条l和,射影是130°
对顶角平分线的直线不存在.故答案选B.
【例2】如图正方体中,E、F分别为D1C1和B1C1的中点,P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.
(1)求证:
D、B、F、E四点共面;
(2)若A1C与面DBFE交于点R,求证:
P、Q、R三点共线.
(1)∵正方体中,,∴.又∵中,E、F为中点,∴.∴,即D、B、F、E四点共面.
(2)∵,,,,∴.又,∴,,∴.即P、Q、R三点共线
【例3】已知直线a//b//c,直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证:
a、b、c、d四线共面.
因为a//b,由公理2的推论,存在平面,使得.
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1,.
假设,则,在平面内过点C作,
因为b//c,则,此与矛盾.故直线.
综上述,a、b、c、d四线共面.
【例4】如图中,正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是AD、AA1的中点.
(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.
(1)如图,连结DC1,∵DC1∥AB1,∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°
,∴AB1和CC1所成的角是45°
.
(2)如图,连结DA1、A1C1,∵EF∥A1D,AB1∥DC1,∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形,∴∠A1DC1=60º
,即直线AB1和EF所成的角是60º
第10讲§
2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系
1.直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内(有无数个公共点);
(2)直线与平面相交(有且只有一个公共点);
(3)直线与平面平行(没有公共点).分别记作:
;
2.两平面的位置关系:
平行(没有公共点);
相交(有一条公共直线).分别记作;
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB和CD所成的角的大小.
分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN,由三角形的中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角(如图所示).连结MN、DN,设AB=2,∴PM=PN=1.而AN=DN=,由MN⊥AD,AM=1,得MN=,
∴MN2=MP2+NP2,∴∠MPN=90°
.∴异面直线AB、CD成90°
角.
【例
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