高中数学复合函数练习题Word格式文档下载.doc
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设的定义域为D,即,由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以为的定义域。
例3.已知的定义域为,则函数的定义域为_________。
的定义域为,即,由此得
即函数的定义域为
例4.已知,则函数的定义域为______________。
先求f的作用范围,由,知的定义域为
(3)、已知的定义域,求的定义域
设的定义域为D,即,由此得,的作用范围为E,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,F为的定义域。
例5.若函数的定义域为,则的定义域为____________。
的作用范围为又f对作用,所以,解得
即的定义域为
(二)同步练习:
1、已知函数的定义域为,求函数的定义域。
答案:
2、已知函数的定义域为,求的定义域。
3、已知函数的定义域为,求的定义域。
三、复合函数单调性问题
(1)引理证明
已知函数.若在区间)上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间)上是增函数.
证明:
在区间)内任取两个数,使
因为在区间)上是减函数,所以,记,即
因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,
故函数在区间)上是增函数.
(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
增↗
减↘
以上规律还可总结为:
“同向得增,异向得减”或“同增异减”.
(3)、复合函数的单调性判断步骤:
ⅰ
确定函数的定义域;
ⅱ
将复合函数分解成两个简单函数:
与。
ⅲ
分别确定分解成的两个函数的单调性;
ⅳ
若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数;
若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数为减函数。
(4)例题演练
例1、求函数的单调区间,并用单调定义给予证明
解:
定义域。
单调减区间是设则
=∵∴∴>
又底数
∴即∴在上是减函数同理可证:
在上是增函数
[例]2、讨论函数的单调性.
[解]由得函数的定义域为
则当时,若,∵为增函数,∴为增函数.
若,∵为减函数.∴为减函数。
当时,若,则为减函数,若,则为增函数.
(5)同步练习:
1.函数y=(x2-3x+2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞)C.(-∞,)D.(,+∞)答案:
B
2找出下列函数的单调区间.
(1);
(2)
(1)在上是增函数,在上是减函数。
(2)单调增区间是,减区间是。
3、讨论的单调性。
时为增函数,时,为增函数。
变式练习
一、选择题
1.函数f(x)=的定义域是( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.
解析:
要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,
所以解得1<x≤2. 答案:
D
2.函数y=(x2-3x+2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(-∞,) D.(,+∞)
先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.答案:
3.若2(x-2y)=x+y,则的值为( )
A.4 B.1或 C.1或4 D.
错解:
由2(x-2y)=x+y,得(x-2y)2=xy,解得x=4y或x=y,则有=或=1.答案:
选B正解:
上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.答案:
4.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围为( )
A.(0,) B.(0,) C.(,+∞) D.(0,+∞)
因为x∈(-1,0),所以x+1∈(0,1).当f(x)>0时,根据图象只有0<2a<l,解得0<a<(根据本节思维过程中第四条提到的性质).答案:
A
5.函数y=(-1)的图象关于( )
A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称 D.直线y=x对称
y=(-1)=,所以为奇函数.形如y=或y=的函数都为奇函数.答案:
C
二、填空题
已知y=(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是__________.
a>0且a≠1(x)=2-ax是减函数,要使y=(2-ax)是减函数,则a>1,又2-ax>0a<(0<x<1)a<2,所以a∈(1,2). 答案:
a∈(1,2)
7.函数f(x)的图象与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,则f(2x-x2)的单调递减区间为______.
因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=x
则f(2x-x2)=(2x-x2),令(x)=2x-x2>0,解得0<x<2.
(x)=2x-x2在(0,1)上单调递增,则f[(x)]在(0,1)上单调递减;
(x)=2x-x2在(1,2)上单调递减,则f[(x)]在[1,2)上单调递增.
所以f(2x-x2)的单调递减区间为(0,1). 答案:
(0,1)
8.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数,且f()=0,
则不等式f(log4x)的解集是______.
因为f(x)是偶函数,所以f(-)=f()=0.又f(x)在[0,+∞]上是增函数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.所以f(log4x)>0log4x>或log4x<-.
解得x>2或0<x<. 答案:
x>2或0<x<
三、解答题
10.设函数f(x)=+,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f-1(x),问函数y=f-1(x)的图象与x轴有交点吗?
若有,求出交点坐标;
若无交点,说明理由.
解:
(1)由3x+5≠0且>0,解得x≠-且-<x<.取交集得-<x<.
(2)令(x)=3x+5,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;
=-1+随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.
又y=lgx在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y=是减函数,所以f(x)=+是减函数.
(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.
设函数f(x)的反函数f-1(x)与工轴的交点为(x0,0).根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,x0),将(0,x0)代入f(x),解得x0=.所以函数y=f-1(x)的图象与x轴有交点,交点为(,0)。
一.指数函数与对数函数
.同底的指数函数与对数函数互为反函数;
(二)主要方法:
1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;
2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;
3.比较几个数的大小的常用方法有:
①以和为桥梁;
②利用函数的单调性;
③作差.
(三)例题分析:
例1.
(1)若,则,,从小到大依次为;
(2)若,且,,都是正数,则,,从小到大依次为;
(3)设,且(,),则与的大小关系是()
()()()()
(1)由得,故.
(2)令,则,,,,
∴,∴;
同理可得:
,∴,∴.(3)取,知选().
6
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