高中数学圆锥曲线之椭圆高考考点解析及例题辅导Word文档格式.doc
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焦半径:
,.
4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c,有关角()结合起来,建立+、等关系.
5.椭圆上的点有时常用到三角换元:
;
题型讲解
例1已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.
①求椭圆的方程;
②设点P在椭圆上,且,求.
解:
①.
②设则
又,
例2求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.
设椭圆方程,,,
因为弦AB中点,所以
由得,(点差法)
所以
又
例3已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.
分析:
求椭圆的离心率,即求,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值,因此只需把a、c用同一量表示,由PF1⊥F1A,PO∥AB易得b=c,a=b.
解:
设椭圆方程为+=1(a>b>0),F1(-c,0),c2=a2-b2,
则P(-c,b),即P(-c,).
∵AB∥PO,∴kAB=kOP,
即-=.∴b=c.
又∵a==b,
∴e===.
点评:
由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.
例4如下图,设E:
+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求证:
△PF1F2的面积S=b2tanθ.
有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2,问题即获解决.
证明:
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
则S=r1r2sin2θ,又|F1F2|=2c,
由余弦定理有
(2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ
=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ
=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),
于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.
所以r1r2=.
从而有S=·
sin2θ=b2=b2tanθ.
①解与△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.
②我们设想点P在E上由A向B运动,由于△PF1F2的底边F1F2为定长,而高逐渐变大,故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数,所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角,故2θ∈(0,π),θ∈(0,).这样,θ也逐渐变大,当P运动到B时,∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题,
例5若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.
欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率为.OA⊥OB,易得a、b的两个方程.
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(,).
由,∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.
∴=,=1-=.
∴M(,).
∵kOM=,∴b=a. ①
∵OA⊥OB,∴·
=-1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2),
∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1-+=.
∴+=0.
∴a+b=2. ②
由①②得a=2(-1),b=2(-1).
∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1.
直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出A(x1,y1),B(x2,y2),但不是真的求出x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.
例6已知椭圆的一条准线方程是,其左、右顶点分别是A、B;
双曲线的一条渐进线方程为
(1)求椭圆的方程及双曲线的离心率;
(2)在第一象限内取双曲线上一点P,连接AP交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆于点N,若求证:
(1)解:
(c为椭圆半焦距),
的离心率为.
(2)证明:
设,则即
消去得
因为点M在第一象限
代入椭圆方程得:
所以点M、N关于x轴对称.∴
点评:
对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性;
擅于将几何关系与代数关系相互转化;
把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;
注意参量的个数及转化;
养成化简整理的习惯.
例7已知椭圆=1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M,使它到左准线的距离是它到两焦点F1,F2的距离的等比中项?
由方程知e=1/2,假设存在点M(x0,y0)满足条件,
即=1且x0∈[─2,0),
有d2=|MF1||MF2|(d为M到准线的距离),
∵|MF1|=a+ex0=2+x0/2,|MF2|=a─ex0=2─x0/2,d=4+x0,
∴(4+x0)2=4─x02/4,
∴x0=─12/5或x0=─4,这与x0∈[─2,0)矛盾,
故点M不存在.
范围问题和求值问题的解法基本上没有区别,主要是把它当成求值问题来处理,最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的.
例8设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
解:
设椭圆方程为,为椭圆上的点,由得
若,则当时最大,即,,故矛盾.
若时,时,
所求方程为
把y=─代入,求得M的坐标是(─,─)或(,─).
二次曲线的最值问题,常常归结为二次函数的最值问题,解题时要注意对自变量的范围进行讨论.
例9设椭圆与双曲线有共同焦点F1(─4,0),F2(4,0),并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍,试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.
解法一:
设交点为P(x,y),双曲线的实半轴长为a(2<
a<
4),则椭圆长半轴长为2a,由半焦距为4,得它们的方程分别为:
(1)和=1
(2)
(2)´
4─
(1)得:
(3),
代入
(1)得:
a2=2|x|
再代入(3)化简得:
(x─5)2+y2=9或(x+5)2+y2=9.
解法二:
用定义法求解.|F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||,
解得:
|F1P|=3´
|F2P|或3´
|F1P|=|F2P|.
即:
3
或3,
化简得:
例10如图,椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使+=.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若=15,求着个椭圆的方程.
(1)设椭圆的方程为,焦距为,则直线l的方程为:
代入椭圆方程,
得,
设点、,
则
∵+,∴C点坐标为.
∵C点在椭圆上,∴.
∴∴
又∴
∴
(2)∵
由已知从而.∴.
故椭圆的方程为:
.
小结:
椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系,及利用第二定义解决问题,关键是注意数形结合,函数与方程的思想,等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点:
(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如图),它的三边长分别为a、b、c.
易见c2=a2-b2,且若记∠OF1B2=θ,则cosθ==e.
(2)应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,本质上,它与坐标系无关,而坐标系是研究的手段.实际上,人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系,从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系,这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等,均不因坐标系的改变而改变.
(3)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;
当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在.
(4)椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中,总有a>b>0;
椭圆的焦点位置决定标准方程的类型;
a、b、c的关系是c2=a2-b2;
在方程Ax2+By2=C中,只要A、B、C同号,就是椭圆方程.
(5)当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离,焦点弦长相关时,常利用椭圆的第二定义,转化为点到准线的距离来研究,即正确应用焦半径公式.
(6)使用椭圆的第二定义时,一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的,则上述之比就不再是常数了.
练习
1.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别是()
A8,B10,C10,6D10,8
答案:
B
2.椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是()
ABCD以上都不对
C解析:
3.P为椭圆上的点,是两焦点,若,则的面积是()
ABCD16
B解析:
设,列方程求解.
4.椭圆内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使最小,则点M为()
ACD
A解析:
等于M到右准线的距离.
5.椭圆的对称轴在坐标轴上,长轴是短轴的2倍,且过点(2,1),则它的方程是_____________.
答案:
6.如图分别为椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是____.
解析:
.
7设A(-2,0),B(2,0),的周长为10,,则动点C的轨迹方程为:
__________.
8.椭圆上有两点P、Q,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则为()
A.4B.64C.20D.不确定
C
设直线方程为,解出,写出
9.过椭圆的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是()
A.B.C.
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