考研数学一真题及解析.docx
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考研数学一真题及解析
2016年考研数学一真题及解析
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
(1)若反常积分收敛,则
(A)且(B)且
(C)且(D)且
【答】应选(C)
【解】注意到在为瑕积分,在为无穷限反常积分,仅在为无穷限反常积分,所以.
(2)已知函数则的一个原函数是
(A)(B)
(C)(D)
【答】应选D.
【解】由于原函数一定是连续,可知函数在连续,而、、中的函数在处均不连续,故选D.
(3)若,是微分方程的两个解,则()
(A)(B)
(C)(D)
【答】应选(A)
【解】分别将,带入微分方程,两式做差,可得.两式做和,并且将带入,可得.
(4)已知函数则
(A)是的第一类间断点.(B)是的第二类间断点.
(C)在处连续但不可导.(D)在处可导.
【答】应选(D)
【解】
。
当时,,由于,由夹逼定理可知:
。
故在处可导,选。
(5)设,是可逆矩阵,且与相似,则下列结论错误的是
(A)与相似
(B)与相似
(C)与相似
(D)与相似
【答】应选(C).
【解】因为与相似,所以存在可逆矩阵,使得两端取转置与逆可得:
,,可知、、均正确,故选择.
(6)设二次型,则在空间直角坐标下表示的二次曲面为
(A)单叶双曲面(B)双叶双曲面
(C)椭球面(D)柱面
【答】应选
【解】求出二次型矩阵的特征值.设.,从而可知二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为2,从而二次型表示双叶双曲面,故选择.
(7)设随机变量,记,则
(A)随着的增加而增加(B)随着的增加而增加
(C)随着的增加而减少(D)随着的增加而减少
【答】
【解】将标准化,
从而可知,随着增加而增加
(8)随机试验有三种两两不相容的结果,,,且三种结果发生的概率均为.将试验独立重复做2次,表示2次试验中结果发生的次数,表示2次试验中结果发生的次数,则与的相关系数为
(A)(B)(C)(D)
【答】
【解】可知二维离散型随机变量的联合分布律为
XY
0
1
2
0
1/9
2/9
1/9
1
2/9
2/9
0
2
1/9
0
0
所以.
二、填空题:
9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9).
【答】应填
【解】原式为:
.
(10)向量场的旋度.
【答】.
(11)设函数可微,由方程确定,则.
【答】应填.
【解】由一阶微分形式不变性,
将代入,,所以,.
(12)设函数,且,则______.
【答】应填.
【解】
,可知,故
(13)行列式______.
【答】应填.
【解】令
由展开定理地递推公式,故
.
(14)设为来自总体的简单随机样本,样本均值,参数置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
【答】应填
【解】置信区间的中心为,可知置信下限为8.2,故置信区间为.
三、解答题:
(15~23小题,共94分.)
(15)(本题满分10分)已知平面区域,计算二重积分.
【答】积分区域关于轴对称,为轴上方区域
.
(16)(本题满分10分)设函数满足方程,其中.
(Ⅰ)证明:
反常积分收敛;
(Ⅱ)若,,求的值.
【解】
(1)的特征方程为,
所以
由于,所以,
所以
所以
又因为,所以收敛
(2)由
(1)可知,
由于,所以
故
(17)(本题满分10分)设函数满足,且,是从点到点的光滑曲线.计算曲线积分,并求的最小值.
【答】由于,所以,
由于,所以,所以
由于,故
,,令得
当时,可知,单调递减;当时,可知,单调递增;
所以在时取得最小值,.
(18)(本题满分10分)设有界区域由平面与三个坐标平面围成,为整个表面的外侧,计算曲面积分.
【解】由Gauss公式可得
.
(19)(本题满分10分)已知函数可导,且,.设数列满足,证明:
(Ⅰ)级数绝对收敛;
(Ⅱ)存在,且.
【解】证明:
(1)由Lagrange中值定理可知
,
其中在与之间。
由于,所以,
同理可知,
注意到收敛,所以绝对收敛。
(2)由于收敛,所以部分和数列收敛,也即存在,所以存在。
设,则,所以.
令,
,,
所以在上有一根,又,则在内唯一的根在上。
故,也即.
(20)(本题满分11分)设矩阵,.
当为何值时,方程无解、有唯一解、有无数个解?
在有解时,求此方程.
【解】
(1)当时,可知方程有唯一解,
即当且时方程有唯一解,
令
所以方程组可解得
方程组可解得
所以
(2)当时,方程有无穷多解
方程组可解得
方程组可解得
所以
(3)当时,方程无解
(21)(本题满分11分)已知矩阵.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设3阶矩阵满足。
记,将分别表示为的线性组合.
【解】
(1),可知的特征值为:
.
,则的特征向量为
,则的特征向量为
,则的特征向量为
令,则,,
则有
.
(2)可知,即
,
则,,.
(22)(本题满分11分)设二维随机变量在区域上服从均匀分布,令
(Ⅰ)写出的概率密度;
(Ⅱ)问与是否相互独立?
并说明理由;
(Ⅲ)求的分布函数.
【解】(Ⅰ)的面积,则的概率密度.
(Ⅱ)
当时,,可知与有关,故不独立.
(Ⅲ)s
其中
故
.
从而.
(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数,为来自总体的简单随机样本,令.
(Ⅰ)求的概率密度;
(Ⅱ)确定,使得为的无偏估计.
【解】(Ⅰ)的分布函数为
(为的分布函数).
(Ⅱ)的概率密度为.
,则,可知.
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