高一年级数学秋季后十次课Word格式文档下载.doc
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而当x∈(0,+),x逐渐增加时,函数值y逐渐增加,函数的这两种性质都叫做函数的单调性。
【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的,有些函数在它的整个定义域上不存在单调性,而在定义域的某个区间存在单调性。
y=x;
y=
2.增减函数的定义
对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x、x,当x<
x时都有_________________,那么称f(x)在这个区间上是增函数;
当x<
x时都有_________________,那么称
f(x)在这个区间上是减函数.
3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤:
第一步:
取值。
即设x、x是指定区间内的任意两个值,且x<
x;
第二步:
作差变形。
即作差f(x)﹣f(x),并通过因式分解、配方、分母有理化等方法,向有利
于判断差的符号的方向变形;
(部分题目,若能够确定f(x)恒为正,亦可采用作商的方法);
第三步:
定号。
确定差的正负,当符号不确定时,要进行分区间讨论;
第四步:
判断。
由定义得出结论。
4.判断函数单调性的常见方法
(1)定义法
(2)直接法
运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出,直接判断函数的单调性,可用到以下结论:
①函数y=﹣f(x)与函数y=f(x)的单调性相____
②函数f(x)恒为正或恒为负时,函数y=与y=f(x)的单调性相____
③在公共区间内,增函数+增函数=____函数,增函数﹣减函数=____函数
(3)图像法
根据函数图像的升、降情况进行判断
【常用性质】
1.一些重要函数的单调性
(1)y=x+的单调性:
(﹣,﹣1)↗,(﹣1,0)↘,(0,1)↘,(1,+)↗
(2)y=ax+(ab>
0)的单调性:
(﹣,﹣)↗,(﹣,0)↘,(0,)↘(,+)↗
2.单调性与奇偶性
若奇函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[﹣b,﹣a]上单调递增(减);
若偶函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[﹣b,﹣a]上单调递减(增)。
奇函数:
对称区间单调性________ 偶函数:
对称区间单调性________
例1:
判断函数f(x)=在区间(﹣1,1)上的单调性。
例2:
已知f(x)=x+x,判断f(x)在(﹣,+)上的单调性,并证明。
二、函数单调区间及图像特点
【注意】
1.书写函数单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,写成开区间也可;
若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间。
2.求复合函数的单调区间的一般步骤是:
(1)求函数的定义域;
(2)求内层函数的单调区间;
(3)考察外层函数的单调性;
(4)由“同增异减”确定复合函数的单调区间
例3:
求下列函数的单调区间:
(1)y=x+(x<
0);
(2)y=;
(3)y=﹣x+2|x+3|
例4:
作出函数f(x)=|x﹣3|+|x+3|的图像,并指出函数f(x)的单调区间。
例5:
已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,+)时单调递减,求f(2x﹣x)(x≤1)的单调区间。
三、函数单调性的应用
例6:
设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x∈(a,b),x∈(c,d),x<
x,则f(x)与f(x)的大小关系是 ( )(A)f(x)<
f(x) (B)f(x)>
f(x)
(C)f(x)=f(x) (D)不能确定
例7:
求函数y=在区间[2,6]上的最大值和最小值。
例8:
已知函数f(x)=x﹣+在(1,+)上是增函数,求实数a的取值范围。
例9:
函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,并且当x>
0时,f(x)>
1.
(1)求证:
f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m﹣m﹣2)<
3.
【练习一】
1.已知函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且为(﹣1,1)上的减函数,若f(1﹣m)+f(1﹣m)<
0,求实数m的取值范围。
2.定义在实数集上的偶函数f(x)在(0,+)上是递增的,试判断f(﹣)和f(﹣3)的大小关系。
3.已知函数f(x)对任意x、y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>
0时,f(x)<
0,f
(1)=﹣
f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[﹣3,3]上的最大值及最小值。
4.已知奇函数f(x)=
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[﹣1,|a|﹣2]上单调递增,求实数a的范围。
5.证明函数f(x)=在区间[1,+)上是减函数,试问f(x)在区间(﹣,﹣1]上是否也是减函数?
在(﹣,﹣1]∪[1,+)上呢?
培优训练
1.求函数的定义域和单调区间。
2.求函数的最小值。
3.已知函数的定义域是,值域是,求a,b的值。
4.设函数,其中。
记函数
g(x)的最大值与最小值的差为h(a),求h(a)的表达式并求h(a)的最小值.
5.已知x∈[0,1],则函数的最大值为_______最小值为_________
6.函数在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是 ( )
(A) (B) (C)a<
-1或a>
1 (D)a>
-2
7.已知函数f(x)=若f(2-a2)>
f(a),则实数a的取值范围是 ( )
(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
8.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1,
f(x)是R上的增函数
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3。
9.设f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,
f
(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y);
(2)设f
(2)=1,解不等式。
高一年级 数学学科 总计20课时 第12课时
课题函数的值域及最值
一、知识要点
1.函数最值的定义:
一般地,设函数的定义域为.
若存在定值,使得对于任意,有恒成立,则称为的最大值,记为;
若存在定值,使得对于任意,有恒成立,则称为的最小值,记为;
2.单调性与最值:
设函数的定义域为
若是增函数,则,;
若是减函数,则,.
二、双基训练
求下列函数的值域
(1);
(2),
三、例题讲解
1.根据函数图像写单调区间和最值:
如图为函数,的图像,指出它的最大值、最小值及单调区间.
2.求函数值域方法
(1)观察法:
利用常见函数的值域来求
求函数的值域
(1)y = 3 -
(2)
(2)配方法:
求二次函数值域最基本的方法之一
;
变式1:
变式2:
变式3:
(3)换元法:
适用于形如形式
求函数的值域。
练习:
(4)分离常数法:
(1)
(2)(3)
(1)
(2)(3)
(5)分段函数
求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
|x+2|+|x-3|≥a恒成立,求a的取值范围
(6)判别式法
将函数转化为x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式>
=0,从而求得函数的值域,
求函数的值域:
;
(7)不等式法:
利用基本不等式:
若函数f(x)的值域为[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+的值域为_____
求函数值域
(8)数形结合法:
若函数的解析式的几何意义较明显,可用数形结合的方法。
例8:
对a,bR.设记max{a,b}=求函数f(x)=max{},的最小值
四、能力训练
1.函数的最大值是
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