马鞍山二中高一理科实验班招生考试数学试题及答案文档格式.doc
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5.表示不超过实数的最大整数,记将不能表示成形式的正整数称为“隐形数”.则不超过的“隐形数”的个数是()
A.335B.336C.670D.671
6.如图,点为锐角的外心,点为劣弧的中点,
若则()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题6分,共60分.将答案填在答题卷中相应横线上.)
7.如果不等式没有实数解,则实数的取值范围;
8.已知实数满足,则的取值范围是;
9.函数的最大值为;
10.设为实数,已知坐标平面上的抛物线与轴交于两点,且线段.若抛物线与轴交于两点,则线段;
11.正方形中,两个顶点到直线的距离相等,且均为另两个顶点到直线的距离的两倍,则这样的
直线有条;
12.使二次方程的两根均为整数的质数的所有可能值为;
13.在平面直角坐标系中,不管实数取什么实数,抛物线的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是;
14.已知实数满足,,则;
15.如图,为等边内一点,则的面积为;
16.如图,在的边上过到点的距离为…的点作互相平行的直线,分别与相交,得到如图中所示的阴影梯形,它们的面积依次记为….
则.
三、解答题(本大题共5小题,共60分.将答案填在答题卷中相应位置处,答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分10分)计算
18.(本题满分12分)甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发,沿同方向直线行驶,每辆车最多只能带汽油(含油箱中的油),途中不能再加油,每升油可使一辆车前进,两辆车都必须沿原路返回出发点,但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案,使其中一辆车尽可能地远离出发点,并求这辆车一共行驶了多少千米?
19.(本题满分12分)如图,四边形内接于,是的直径,和相交于点,且
(1)求证:
(2)分别延长,交于点,过点作交的延长线于点,若求的长.
20.(本题满分13分)如图,已知抛物线(为常数,且)与轴从左至右依次交于两点,与轴交于点,经过点的直线与抛物线的另一交点为.
(1)若点的横坐标为,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点,使得以为顶点的三角形与相似,求的值;
(3)在
(1)的条件下,设为线段上一点(不含端点),连接,一动点从点出发,沿线段以每秒个单位的速度运动到,再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止,当点的坐标是多少时,点在整个运动过程中用时最少?
21.(本题满分13分)一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差,则称这个自然数为“好数”.例如,就是一个“好数”.
(1)是不是“好数”?
说明理由.
(2)从小到大排列,第个“好数”是哪个自然数?
数学试题答案及评分标准
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
D
A
二、填空题(本大题共10小题,每小题6分,共60分.)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
9
12条
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
3或7
三、解答题(本大题共5小题,共60分.答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.解:
原式=
………………………………………………5分
………………………………………………………………10分
18.解:
设尽可能远离出发点的甲汽车行驶了,乙汽车行驶了,则
而,即甲车一共行驶了.………………………6分
具体的方案是:
两辆汽车行驶了后,乙车借给甲车汽油,并在此地等着,甲车继续前进后返回,碰到乙车时再借汽油,然后两车回到出发点.………………12分
19.
(1)证明:
∴∽∴,
∵四边形内接于,
∴………………………………………………3分
(2)解:
如图,连接,
∵,∴,
又∵,∴,∴,
∴∥,∴
∵∴
第19题图
又∵∴也就是半径,……………………6分
在中,
∵是直径,∴∴,
又∵,∠AFD=∠ACB=90°
∴∽∴………………………………9分
在,设,则,
∴求得.………………………………12分
20.解:
(1)抛物线,令,解得或,
∴,.∵直线经过点,∴解得,
∴直线解析式为:
.
当时,,∴在抛物线上,
解得.………………………………………………………………………3分
(2)由抛物线解析式,令,得,∴,.
点在第一象限内的抛物线上,所以为钝角.因此若两个三角形相似,只可能是∽或∽.
①若∽,则有,如答图2﹣1所示.设,过点作轴于点,则.
,即:
∴,代入抛物线解析式整理得:
,
解得:
或(与点重合,舍去),∴.
∵∽,∴,
即,解得:
.……………………………………7分
②若∽,则有,如答图2﹣2所示.同理,可求得.
综上所述,或.………………………9分
(3)由
(1)知:
,如答图3,过点作轴于点,则,∴∴
过点作轴,则
过点作于点,则.由题意,动点运动的路径为折线,运动时间:
由垂线段最短可知,折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段.过点作于点,则,与直线的交点,即为所求之点.
∵点横坐标为,直线解析式为:
∴.………………………………………………………13分
21、
(1)2014不是“好数”.如果2014是“好数”,不妨设则,而的奇、偶性相同,即要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是“好数”.…………………………………………4分
(2)设为自然数,由
(1)类似可得如的自然数都不是“好数”
故的自然数都是“好数”,……………………………………………………10分
所以从小到大的“好数”为:
0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第个“好数”为,所以第2014个“好数”为2684.…………………………………………………………13分
数学试卷第8页共4页
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