递推数列求通项公式的常见类型及方法Word文档格式.doc
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令,得
以上个式子求积,得.
例2.数列中,,求数列的通项.
由题,令,得
3..
方法一:
配凑法.
方法二:
待定系数法.
令比较已知得
是方程的根.是特征方程.
方程三:
两根同除以,得转化为类型1.
例3(07.全国)数列中,,求数列的通项.
解法一:
故
解法二:
令
解得
下同解法一.
解法三:
两边同除以,得
则.
令得
.
4..
方法一:
两边同除以,得转化为类型一.
方法二:
令比较已知得.
例4.数列中,,求数列的通项.
解法一:
两边同除以,得.
令,则.
令得
解法二:
解得.
即,
所以数列是以为首项,3为公比的等比数列.
5..
例5.数列中,,求数列的通项.
两边同除以,得
令,得.
利用叠加法及错位相减法,以求得
.
6..
两边同除以,得
转化为类型一
例6.(2008年河南省普通高中毕业班教学质量调研考试)
数列中,,求数列的通项.
令
则
两边同除以,得
即
令,则
令得
7..
由已知,两式相除,得.
例7.数列中,,求数列的通项.
由题,得
………..①
……...②
②①得
都是以为公比的等比数列
当为奇数时,当为偶数时,
8..
配凑法.
待定系数法.
令,比较已知得
得出
其中是方程的两根,方程是特征方程.
例8.数列中,,求数列的通项.
令比较已知得
数列是以为首项,2为公比的等比数列.
则,即.下同例4.
9..
不动点法.
令………(*)
若(*)有两重根,,则为等差数列.
若(*)有两根,,则为等比数列.
例9.(08,洛阳三练)
数列中,,求数列的通项.
解:
令,得.
例10.(07.全国)数列中,,求数列的通项.
令,解得,
则
数列是以为首项,为公比的等比数列.
故.
10.的关系.
方法:
可以向转化,也可以向转化.
例11.数列的前项和,,求数列的通项公式.
时,,解得
两式相减得,
平方得.
数列是以为首项,4为公差的等差数列。
又,
同法一,.
.
数列是以的首项,1为公差的等差数列.
.
又.
当时,
当时,也成立.
故.
以上是递推数列求通项常见的十种类型及求法,其他类型请具体分析。
需要指出的是,都可以用数学归纳法.
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