递推数列求通项公式的精品习题Word文档下载推荐.doc
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例1:
已知数列满足,,求。
例2:
已知,,求。
(2011,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1,(n≥2),则{an}的通项
类型3(其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):
把原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
已知数列中,,,求.
(2011,重庆,文,14)
在数列中,若,则该数列的通项_______________
(2010.福建.理22.本小题满分14分)
已知数列满足
(I)求数列的通项公式;
(II)若数列{bn}滿足证明:
数列{bn}是等差数列;
(Ⅲ)证明:
类型4(其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q,r均为常数)。
解法:
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再待定系数法解决。
已知数列中,,,求。
(2011,全国I,理,本小题满分12分)
设数列的前项的和,
(Ⅰ)求首项与通项;
(Ⅱ)设,,证明:
类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数法):
先把原递推公式转化为
其中s,t满足
解法二(特征根法):
对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);
当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。
解法一(待定系数——迭加法):
数列:
,,求数列的通项公式。
例:
已知数列中,,,,求。
1.已知数列满足
(I)证明:
数列是等比数列;
(II)求数列的通项公式;
(III)若数列满足证明是等差数列
2.已知数列中,,,,求
3.已知数列中,是其前项和,并且,
⑴设数列,求证:
⑵设数列,求证:
数列是等差数列;
⑶求数列的通项公式及前项和。
类型6递推公式为与的关系式。
(或)
这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。
例:
已知数列前n项和.
(1)求与的关系;
(2)求通项公式.
(2011,陕西,理,本小题满分12分)
已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an
(2010,江西,文.本小题满分14分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3求数列{an}的通项公式.
类型7
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。
设数列:
,求.
(2006,山东,文,22,本小题满分14分)
已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?
若存在试求出不存在,则说明理由.
类型8
这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。
已知数列{}中,,求数列
(2011,江西,理,21.本小题满分12分)
已知数列
(1)证明
(2)求数列的通项公式an.
(2010,山东,理,22,本小题满分14分)
已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
记bn=,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1
类型9解法:
这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
已知数列{an}满足:
,求数列{an}的通项公式。
(2011,江西,理,本大题满分14分)
1.已知数列{an}满足:
a1=,且an=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
对于一切正整数n,不等式a1·
a2·
……an<
2·
n!
2、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{}满足时,,求通项公式。
4、已知数列{an}满足:
5、若数列{a}中,a=1,a=n∈N,求通项a.
类型10
如果数列满足下列条件:
已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;
当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。
例1:
已知数列满足性质:
对于且求的通项公式.
例2:
已知数列满足:
对于都有
(1)若求
(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?
(2011,重庆,文,,本小题满分12分)
数列记
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式及数列的前n项和
类型11或
这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。
(I)在数列中,,求
(II)在数列中,,求
类型12归纳猜想法
数学归纳法
(2006,全国II,理,22,本小题满分12分)
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…
(Ⅰ)求a1,a2;
(Ⅱ){an}的通项公式
类型13双数列型
根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
已知数列中,;
数列中,。
当时,,,求,.
类型14周期型解法:
由递推式计算出前几项,寻找周期。
若数列满足,若,则的值为___________。
(2010,湖南,文,5)
已知数列满足,则= ()
A.0 B. C. D.
17
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