选修2-1第三章3.1.3空间向量的数量积运算学案及作业Word文档下载推荐.doc
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3.向量的数量积:
已知向量,则叫做的数量积,记作,即.
说明:
⑴零向量与任一向量的数量积为0,即0·
a=0;
⑵符号“·
”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×
”代替.
几何意义:
已知向量=a和轴l,e是l上和l同方向的单位向量.作点A在l上的射影A′,点B在l上的射影B′,则叫做向量在轴l上或在e方向上的正射影,简称射影.可以证明:
=||cos<a,e>=a·
e.说明:
一个向量在轴上的投影的概念,就是a·
e的几何意义.
4.空间向量数量积的性质:
根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下性质:
⑴a·
e=|a|·
cos<a,e>;
⑵a⊥ba·
b=0
⑶当a与b同向时,a·
b=|a|·
|b|;
当a与b反向时,a·
b=-|a|·
|b|.
特别地,a·
a=|a|2或|a|=.
⑷cos<a,b>=;
⑸|a·
b|≤|a|·
5.空间向量数量积的运算律:
与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律:
⑴(λa)·
b=λ(a·
b)=a·
(λb)(数乘结合律);
⑵a·
b=b·
a(交换律);
⑶a·
(b+c)=a·
b+a·
c(分配律)
⑴(a·
b)c≠a(b·
с);
⑵有如下常用性质:
a2=|a|2,(a+b)2=a2+2a·
b+b2
三、讲解范例:
例1.已知向量,向量与的夹角都是,且,
试求:
(1);
(2);
(3).
例2.
(1).设,,且,求向量的模.
(2).已知,,,,问实数取何值时与垂直.
(3).若,且,求的值.
例3.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积.
(3);
(4)
空间向量的数量积运算
(2)
掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题.
4.空间数量积的性质
5.空间向量数量积的运算律
例1.用向量方法证明:
直线和平面垂直的判定定理.
已知:
是平面内的两条相交直线,直线与平面的交点为,且
求证:
.
例2:
已知空间四边形中,,,求证:
例3.已知是边长为的正三角形所在平面外一点,且,分别是,的中点,求异面直线与所成角的余弦值.
点评:
设出空间的一个基底后,求数量积的时候目标就更加明确了,只要将与都化为用基向量表示就可以了.本题中与的夹角是异面直线与所成角的补角.
例4.已知线段AB、BD在平面内,BDAB,线段AC,如果AB=a,BD=b,AC=c,求C、D间的距离.
四、小结:
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题.
空间向量的数量积作业
(1)
(一)选择题
1.若,且,则与的夹角为()
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
2.已知,则()
A.22 B.48 C. D.32
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3.则()
A.1 B.3
C.0 D.-3
4.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足,则△BCD是()
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定
5.设a,b,c是任意的非零向量,且它们互相不共线,则下列命题:
①(a·
b)·
c-(c·
a)·
b=0;
②|a|-|b|<
|a-b|;
③(a·
b不与c垂直;
④(3a+2b)·
(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确的有( )
A.①② B.②③C.③④D.②④
6.若向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,则c·
a=0且b·
c=0是l⊥α的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.在棱长为1的正方体ABCD
A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·
(b+c)的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.-2
8.在如图所示的正方体中,下列各对向量的夹角为135°
的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
9.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则向量a与b之间的夹角〈a,b〉为( )
B.45°
C.60°
D.以上都不对
10.(2011年太原模拟)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·
(-)=0,则△ABC是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
(二)填空题
11.已知,则与的夹角为______.
12.下列命题中:
(1)则=0或=0;
(2);
(4)若与均不为,则它们必垂直.其中真命题的序号是______.
13.已知i、j、k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·
b等于________.
14.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°
,m⊥n,则λ=________.
15.已知a,b,c两两夹角都是60°
,其模都是1,则|a-b+2c|=________.
三、解答题
16.已知正四面体OABC的棱长为1.求:
(1)·
;
(2)(+)·
(+);
(3)|++|.
空间向量的数量积作业
(2)
1.已知a、b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )
D.90°
2.在空间四边形ABCD中,·
+·
=________.
3.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角是60°
,则对角线AC1的长是______.
4.在棱长为1的正方体中,分别是中点,
在棱上,,为的中点,
(1)求证:
(2)求所成角的余弦;
(3)求的长.
5.如图,在空间四边形中,,,,,,,求与的夹角的余弦值.
6.如图所示,在▱ABCD中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°
,PA⊥平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.
7.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,∠A1AB=∠A1AD=120°
(1)求AC1的长;
(2)证明:
AC1⊥BD;
(3)求直线BD1与AC所成角的余弦值.
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