集合的表示附答案.docx
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集合的表示附答案
集合的表示
[学习目的] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描绘法).2.可以运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
知识点 集合的表示方法
1.列举法:
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }〞括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描绘法:
(1)定义:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描绘法.
(2)写法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
考虑
(1)由方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合,怎样表示较好?
(2)集合{x|4 (3)列举法可以表示无限集吗? 答 (1)列举法表示为{-2,1},描绘法表示为 {x|(x-1)(x+2)=0},列举法较好. (2)不能,因为这个集合中的元素不可以一一列举出来. (3)列举法可以表示有限集,也可以表示无限集.假设集合中元素个数较多或无限多,但呈现出一定的规律性,在不致发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他的元素用省略号表示.例如正偶数集合可以表示为{2,4,6,8,…}. 题型一 用列举法表示集合 例1 用列举法表示以下集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)由1~20以内的所有质数组成的集合. 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. (3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 跟踪训练1 用列举法表示以下集合: (1)绝对值小于5的偶数; (2)24与36的公约数; (3)方程组的解集. 解 (1)绝对值小于5的偶数集为{-2,-4,0,2,4},是有限集. (2){1,2,3,4,6,12},是有限集. (3)由得 ∴方程组的解集为{(x,y)|}={(x,y)|}={(1,1)},是有限集. 题型二 用描绘法表示集合 例2 用描绘法表示以下集合: (1)正偶数集; (2)被3除余2的正整数的集合; (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. 解 (1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}. (2)设被3除余2的数为x,那么x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}. (3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}. 跟踪训练2 用描绘法表示如下图阴影局部(含边界)点的坐标的集合. 解 此题是用图形语言给出的问题,要求把图形语言转换为符号语言.用描绘法表示(即用符号语言表示)为{(x,y)|-1≤x≤,-≤y≤1,且xy≥0}. 题型三 列举法与描绘法的综合运用 例3 集合A={x|kx2-8x+16=0},假设集合A只有一个元素,试务实数k的值,并用列举法表示集合A. 解 (1)当k=0时,原方程为16-8x=0. ∴x=2,此时A={2}. (2)当k≠0时,由集合A中只有一个元素, ∴方程kx2-8x+16=0有两个相等实根. 那么Δ=64-64k=0,即k=1. 从而x1=x2=4,∴集合A={4}. 综上所述,实数kk=0时,A={2}; 当k=1时,A={4}. 跟踪训练3 把例3中条件“有一个元素〞改为“有两个元素〞,务实数k取值范围的集合. 解 由题意可知方程kx2-8x+16=0有两个不等实根. ∴解得k<1,且k≠0. ∴k取值范围的集合为{k|k<1,且k≠0}. 弄错数集与点集致误 例4 方程组的解的集合是____________. 错解 方程组的解是 所以方程组的解可用列举法表示为{1,2}. 正解 方程组的解是它是一组数对(1,2),所以方程组的解可用列举法表示为{(1,2)},也可用描绘法表示为{(x,y)|}. 易错警示 错误原因 纠错心得 集合{1,2}中是两个元素,表示的是两个数,而方程组的解应为数对(1,2),表示的是直角坐标平面上的点. 表示集合时,要弄清元素具有的形式(即代表元素是什么)是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式. 跟踪训练4 用列举法表示以下集合. (1)A={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; (2)B={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}. 解 (1)因为y=-x2+6≤6,且x∈N,y∈N, 所以x=0,1,2时,y=6,5,2,符合题意, 所以A={2,5,6}. (2)(x,y)满足条件y=-x2+6,x∈N,y∈N, 那么应有 所以B={(0,6),(1,5),(2,2)}. 1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( ) A.{1,1}B.{1} C.{x=1}D.{x2-2x+1=0} 2.下面对集合{1,5,9,13,17}用描绘法表示,其中正确的选项是( ) A.{x|x是小于18的正奇数} B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5} C.{x|x=4t-3,t∈N,且t<5} D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s<6} 3.给出以下说法: ①任意一个集合的正确表示方法是唯一的; ②集合P={x|0≤x≤1}是无限集; ③集合{x|x∈N*,x<5}={0,1,2,3,4}; ④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合. 其中正确说法的序号是( ) A.①②B.②③C.②D.①③④ 的解集用列举法表示为_________________________________; 用描绘法表示为________________. A={-1,2},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,那么a+b的值为________. 一、选择题 1.以下集合中,不同于另外三个集合的是( ) A.{0}B.{y|y2=0} C.{x|x=0}D.{x=0} 的解集是( ) A.{x=1,y=1}B.{1}C.{(1,1)}D.(1,1) 3.集合{x|-3<2x-1≤3,x∈Z}等于( ) A.{1,2}B.{0,1,2} C.{-1,0,1,2}D.{0,1} 4.集合{1,3,5,7,9,…}用描绘法可表示为( ) A.{x|x=2n±1,n∈Z}B.{x|x=2n+1,n∈Z} C.{x|x=2n+1,n∈N*}D.{x|x=2n+1,n∈N} A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},那么M中的元素的个数为( ) A.3B.4C.5 6.给出以下说法: ①实数集可以表示为{R}; ②方程+|2y+1|=0的解集是{-,}; ③方程组的解集是{(x,y)|}; ④集合M={y|y=x2+1,x∈R}与集合N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示同一个集合. 其中说法正确的个数为( ) A.0C.2 二、填空题 A={x|x∈Z,∈N}=________. 8.将集合{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N}用列举法表示为_________________________. 9.集合{1,x,x2-x}中元素x应满足的条件为________. A={-2,2,3,4},集合B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示集合B=_______. 三、解答题 11.用适当的方法表示以下集合. (1)16与24的公约数; (2)不等式3x-5>0的解构成的集合. A={0,1,-1,2,-2,3},集合B={y|y=x2-1,x∈A},求集合B. A={x|ax2-3x+2=0}. (1)假设集合A中只有一个元素,务实数a的值; (2)假设集合A中至少有一个元素,务实数a的取值范围; (3)假设集合A中至多有一个元素,务实数a的取值范围. 当堂检测答案 1.答案 B 解析 集合{x|x2-2x+1=0}本质是方程x2-2x+1=0的解,此方程有两相等实根,为1,故可表示为{1}.应选B. 2.答案 D 解析 分析1,5,9,13,17的特征. 3.答案 C 解析 对于某些集合(如小于10的自然数组成的集合)可以用列举法表示,也可以用描绘法表示,表示方法不唯一,故说法①不正确;集合P={x|0≤x≤1}的元素有无限个,是无限集,故说法②正确;由于{x|x∈N*,x<5}={1,2,3,4},故说法③不正确;集合{(1,2)}与集合{(2,1)}的元素不同,故两集合不是同一集合,故说法④不正确.综上可知,正确的说法是②. 4.答案 {(,-)} {(x,y)|} 5.答案 -3 解析 由题意知-1,2是方程x2+ax+b=0的两根. 那么解得 所以a+b=-3. 课时精练答案 一、选择题 1.答案 D 解析 A是列举法,C是描绘法,对于B要注意集合的代表元素是y,故与A,C一样,而D表示该集合含有一个元素,即方程“x=0〞.应选D. 2.答案 C 解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D不是集合的形式,排除D. 3.答案 B 解析 {x|-3<2x-1≤3,x∈Z}={x|-2<2x≤4,x∈Z}={x|-1 4.答案 D 5.答案 B 解析 当a=1,b=4时,x=5;当a=1,b=5时,x=6;当a=2,b=4时,x=6;当a=2,b=5时,x=7;当a=3,b=4时,x=7;当a=3,b=5时,x=8. 由集合元素的互异性知M中共有4个元素. 6.答案 B 解析 实数集就是R,所以①错误;方程+|2y+1|=0的解为x=,y=-,用集合表示为{(x,y)|},所以②错误;方程组的解为用集合表示为{(x,y)|},所以③正确;y=x2+1≥1,集合M表示大于等于1的实数集合,N中的元素(x,y)表示抛物线y=x2+1上的点,它们不是同一个集合,所以④错误.应选B. 二、填空题 7.答案 {5,4,2,-2} 解析 因为x∈Z,∈N, 所以6-x=1,2,4,8. 此时x=5,4,2,-2,即A={5,4,2,-2}. 8.答案 {(2,4),(5,2),(8,0)} 9.答案 x≠0且x≠1且x≠2且x≠且x≠ 解析 集合中元素要互异, 因此x≠1,x2-x≠1,x2-x≠x, 解得x≠0且x≠1且x≠2且x≠且x≠. 10.答案 {4,9,16} 解析 当t=-2,2,3,4时,x=4,4,9,16,故集合B={4,9,16}. 三、解答题 11.解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}. (2)不等式3x-5>0的解集为{x|3x-5>0}或{x|x>}. 12.解 当x=0时,y=-1; 当x=±1时,y=0; 当x=±2时,y=3; 当x=3时,y=8. 所以集合B={-1,0,3,8}. 13.解 (1)当a=0时,原方程可化为-3x+2=0, 得x=a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,由题意得,Δ=9-8a=0,得a=. 所以当a=0或a=时,集合A中只有一个元素. (2)由题意得,当 即a<且a≠0时方程有两个实根, 又由 (1)知,当a=0或a=时方程有一个
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