苏教版高考二轮复习函数题Word文件下载.doc
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(ⅰ)时,不合题意;
(ⅱ)时,由于函数的图象的对称轴是,且,作函数的图象知,此时函数在(0,1)内没有零点
(ⅲ)时,由于函数的图象的对称轴是,且,作函数的图象知,要使函数在(0,1)内恰有一个零点,只须,即。
解法二:
时,,令则,于是有,作函数的图象知,当时,直线与函数的图象有唯一交点,故a的取值范围是。
。
【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是_______________
令,则;
令,则,由
得,所以
0。
【例4】已知函数在上是减函数,则实数的范围是
设,当时,,,则函数是上的减函数;
当时,要使函数是上的减函数,则,,解得,综上,或。
或
【例5】设函数在(,+)内有定义,对于给定的正数,定义函数,取函数,若对任意的,恒有=,则的最小值为___________1解:
若对任意的,恒有=,则是函数在上的最大值,由
知,所以时,,当时,,所以即的值域是,而要使在上恒成立,值为1。
【例6】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:
函数的图象关于点中心对称。
;
(3)当时,求函数的值域.
解:
(1)法一:
,当或时,均有,所以函数的单调增区间为和。
法二:
由于,因而函数的图象是由函数的图象先向右平移个单位,再向下平移1个单位而得,因而以函数的单调增区间为和。
(2)设点是函数的图象上任一点,则,
点关于点中心对称的点是,
记,则
由上可知,点也在函数的图象上,函数的图象关于点中心对称。
(3),当时,,,
,即当时,函数的值域为.
【例7】已知二次函数满足,且。
(1)求的解析式;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,,求的最大值。
(1)设,代入和,
并化简得,。
(2)当时,不等式恒成立即不等式恒成立,
令,则,当时,,。
(3)对称轴是。
当时,即时,;
当时,即时,
综上所述:
【例8】已知。
(Ⅰ)当,时,问分别取何值时,函数取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值;
(Ⅱ)若在R上恒为增函数,试求的取值范围;
解:
(Ⅰ)当时,。
(1)时,,
当时,;
当时,。
(2)当时,
当时,。
综上所述,当或4时,;
(Ⅱ),
在上恒为增函数的充要条件是,解得。
【例9】已知函数(且)。
(1)求函数的定义域和值域;
(2)是否存在实数,使得函数满足:
对于任意,都有?
若存在,求出的取值范围;
若不存在,请说明理由。
(1)由得,当时,;
当时,,故当时,函数的定义域是;
当时,函数的定义域是。
令,则,,当时,是减函数,故有,即,所以函数的值域为。
(2)若存在实数,使得对于任意,都有,则是定义域的子集,由
(1)得不满足条件;
因而只能有,且,即,令,由
(1)知,由得(舍去),或,即,解得,由是,只须对任意,恒成立,而对任意,由得,因而只要,解得。
综上,存在,使得对于任意,都有。
【例10】已知集合是同时满足下列两个性质的函数的全体:
在其定义域上是单调函数;
在的定义域内存在闭区间,使得在上的最小值是,最大值是。
请解答以下问题:
(1)判断函数是否属于集合?
并说明理由,若是,请找出满足的闭区间;
(2)若函数,求实数的取值范围。
的定义域是,,当时,恒有(仅在时取等号),故在其定义域上是单调减函数;
若,当时,即解得故满足的闭区间是。
至此可知,属于集合。
(2)函数的定义域是,当时,,故函数在上是增函数,若,则存在,且,使得,即且令,则,于是关于的方程在上有两个不等的实根,记,。
三、巩固练习:
1.已知函数恰有一个零点在区间(2,3)内,则实数k的取值范围是
2.若函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,则的取值范围是___________________.
3.已知函数,对任意的,都有成立,则的取值范围是___
4.已知函数是偶函数,当时,有,且当,的值域是,则的值是
5.已知,,则与的大小关系是_______.
6.已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)若函数在[10,+∞)上单调递增,求k的取值范围.
7.经市场调查分析知,东海水晶市场明年从年初开始的前几个月,对水晶项链需求总量(万件)近似满足下列关系:
(1)写出明年第个月这种水晶项链需求总量(万件)与月份的函数关系式,并求出哪几个月的需求量超过万件。
(2)若计划每月水晶项链的市场的投放量都是P万件,并且要保证每月都满足市场需求,则P至少为多少万件?
8.已知函数,证明:
在上是增函数的充要条件是在上恒成立.
9.对于函数,若存在使成立,则称为的不动点,已知函数.
(1)当时,求函数的不动点;
(2)若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若图象上两点的横坐标是函数的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值.
10.已知集合是满足下列性质的函数的全体:
在定义域内存在,使得成立。
(Ⅰ)函数是否属于集合?
说明理由;
(Ⅱ)设函数,求的取值范围;
(Ⅲ)设函数图象与函数的图象有交点,证明:
函数。
巩固练习参考答案:
1.;
2.;
3.;
4.1;
5.。
6.解:
(1)由及得,
(ⅰ)当0<
k<
1时,得
(ⅱ)当k=1时,得
(ⅲ)当k>
综上,当0<
1时,函数的定义域为;
当时,函数的定义域为
(Ⅱ)由在上是增函数得,
又,故对任意的、,当时,
有即得:
又综上可知,k的取值是()。
7.解:
(1)当时,,
当时,
又当时也成立,所以,
解不等式:
,得
即第六个月需求量超过万件。
(2)由题设知当时,恒有,
即,
当且仅当时,,所以每月至少投放1.14万件。
8.证法1:
求导可得:
.
“必要性”:
若在上递增,则当时,恒成立.
在上单调递增.
又在上递增,则
则“必要性”得证.
“充分性”:
在上恒成立,则
又在上单调递增,则
在上递增.
证法2:
证明:
因为
则
当时,递减,则,则
又因为在上递增,则
若在上恒成立,则
则,令,则,
因为,则,所以在上单调递减.
则,所以,由必要性的论证可知,在上递增
则“充分性”得证.
9.解
(1)当时,,于是,等价于
解得或,即此时的不动点是和.
(2)由得(*),
由题意得,对任意实数,方程(*)总有两个不等的实根,故有,即
总成立,于是又有,,.
(3)设,,,
则由关于直线对称,得,
,又的中点在直线上,
,
当且仅当即时,取最小值
10.解:
(Ⅰ)若,在定义域内存在,则,
∵方程无解,∴。
时,;
时,由,得。
∴。
(Ⅲ),
∵函数图象与函数的图象有交点,设交点的横坐标为,
则(其中),即,
于是。
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