等差数列的前n项和(一)Word格式文档下载.docx
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Sn=na1+=n2+(a1-)n.
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;
②当d=0时,Sn=na1,不是项数n的二次函数.
(3)结论及其应用
已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,
若C=0,则数列{an}为等差数列;
若C≠0,则数列{an}不是等差数列.
思考 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于( )
A.-2 B.-
C.1 D.3
答案 A
解析 S3=a1+a2+a3=3a2=6,
∴a2=2,
又a1=4,∴d=-2.
知识点三 等差数列前n项和的性质
1.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.
2.若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为m2d.
3.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
4.若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),
S偶-S奇=nd,=.
5.若等差数列的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)an+1,
S偶-S奇=-an+1,=.
思考 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是________.
答案 210
解析 设{an}的前3m项和是S,
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m分别为30,70,S-100.
由性质知30,70,S-100成等差数列.
∴2×
70=30+(S-100),
∴S=210.
题型一 与等差数列Sn有关的基本量的计算
例1 在等差数列{an}中.
(1)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
解
(1)由题意得,Sn===-5,解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,∴d=-.
∴n=15,d=-.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
∴a8=39,d=5.
跟踪训练1 在等差数列{an}中;
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a3+a15=40,求S17.
解
(1)解得a1=-5,d=3.
∴a8=a6+2d=10+2×
3=16,
S10=10a1+d=10×
(-5)+5×
9×
3=85.
(2)S17====340.
题型二 等差数列前n项和性质的应用
例2
(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.35
C.49 D.63
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,已知=,则等于( )
A.7B.C.D.
(3)已知数列{an}的通项公式为an=2n+1(n∈N*),其前n项和为Sn,则数列{}的前10项的和为________.
答案
(1)C
(2)D (3)75
解析
(1)S7=(a1+a7)=(a2+a6)=(3+11)=49.
(2)====.
(3)∵Sn==n(n+2).
∴=n+2,
∴数列{}是以首项为3,公差为1的等差数列,
∴{}的前10项和为10×
3+×
1=75.
跟踪训练2
(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45
C.36 D.27
答案 B
解析 由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45.
(2)已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n>
1)项和分别是Sn和Tn,且Sn∶Tn=(2n+1)∶(3n-2),求的值.
解 方法一 ====
===.
方法二 ∵数列{an},{bn}均为等差数列,
∴Sn=A1n2+B1n,Tn=A2n2+B2n.
又=,
∴令Sn=tn(2n+1),
Tn=tn(3n-2),t≠0,且t∈R.
∴an=Sn-Sn-1
=tn(2n+1)-t(n-1)(2n-2+1)
=tn(2n+1)-t(n-1)(2n-1)
=t(4n-1)(n≥2),
bn=Tn-Tn-1
=tn(3n-2)-t(n-1)(3n-5)
=t(6n-5)(n≥2).
∴==,
∴===.
题型三 等差数列前n项和公式在实际中的应用
例3 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?
全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?
解 设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则
a1=50+1000×
1%=60(元),
a2=50+(1000-50)×
1%=59.5(元),
…
a10=50+(1000-9×
50)×
1%=55.5(元),
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,
所以有S20=×
20=1105(元),
即全部付清后实际付款1105+150=1255(元).
跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________米.
答案 2000
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为
S=9×
20+×
20+10×
20=2000米.
1.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是( )
A.12B.24C.36D.48
2.在等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,则a10等于( )
A.27B.24C.29D.48
3.已知数列{an}中,a+a+2a3a8=9,且an<
0,则S10等于( )
A.-1B.-11C.-13D.-15
4.等差数列{an}的前四项之和为124,后四项之和为156,各项和为210,则此数列的项数为( )
A.5B.6C.7D.8
5.在等差数列{an}中,an=2n+3,则等差数列{an}从第100项到第200项之和S的值为________.
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于( )
A.49B.42C.35D.28
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2014=a2014=2014,则a1等于( )
A.-2014 B.-2012
C.2012 D.2014
3.已知数列{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为( )
A.4B.C.-4D.-
4.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为( )
A.765B.665C.763D.663
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于( )
A.1B.-1C.2D.
6.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( )
A.9B.10C.19D.29
7.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A.B.C.D.
二、填空题
8.在一个等差数列中,已知a10=10,则S19=________.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=________.
10.一个等差数列前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27,则公差d=________.
三、解答题
11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,求a9.
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:
是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?
若存在,求出t和m的值;
若不存在,请说明理由.
13.某公司决定给员工增加工资,提出了两个方案,让每位员工自由选择其中一种.甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1000元;
乙方案是每半年末给每位员工增资300元.
(1)你会怎样选择增资方案?
请说明你的理由.
(2)若保持方案甲不变,而方案乙中每半年末的增资额改为a元,问a为何值时,方案乙总比方案甲增资多?
(说明:
①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准;
②假定员工工作年限均为整数)
∴只工作一年选择甲方案;
只工作两年,随便选;
工作两年以上选择乙方案.
当堂检测答案
1.答案 B
解析 S10==5(a1+a10)=120,
∴a1+a10=24.
2.答案 C
解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知得解得
∴a10=2+9×
3=29.
3.答案 D
解析 易知(a3+a8)2=9.
∵an<
0,∴a3+a8=-3.
∴S10===-15.
4.答案 B
解析 由题意知a1+a2+a3+a4=124,
an+an-1+an-2+an-3=156,
∴4(a1+an)=280,
∴a1+an=70.
又S==×
70=210,∴n=6.
5.答案 30603
解析 a100=203,
∴S=203×
101+×
2=30603.
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