等差数列及其前n项和练习题Word文档格式.doc
- 文档编号:15035568
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOC
- 页数:12
- 大小:205.50KB
等差数列及其前n项和练习题Word文档格式.doc
《等差数列及其前n项和练习题Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等差数列及其前n项和练习题Word文档格式.doc(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
答案 105
6.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+pn,a7=11.若ak+ak+1>12,则正整数k的最小值为________.
解析 因为a7=S7-S6=2×
72+7p-2×
62-6p=26+p=11,所以p=-15,Sn=2n2-15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当n=1时也满足.于是由ak+ak+1=8k-30>12,得k>>5.又k∈N*,所以k≥6,即kmin=6.
答案 6
7.已知数列{an}满足递推关系式an+1=2an+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是________.
解析 由an+1=2an+2n-1,可得=+-,则-=--=--=-,当λ的值是-1时,数列是公差为的等差数列.
答案 -1
8.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k=________.
解析a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,
Sk=k+×
2=k2=9.
又k∈N*,故k=3.
答案3
10.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(x·
y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2.则数列的通项公式an=________.
解析 由an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf
(2)=2an+2n+1,得=+1,所以是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,an=n·
2n.
答案 n·
2n
二、解答题
11.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.
(1)设Sk=2550,求a和k的值;
(2)设bn=,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.
解
(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a,
又a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即a=3.
∴a1=2,公差d=a2-a1=2.
由Sk=ka1+d,得
2k+×
2=2550,
即k2+k-2550=0,
解得k=50或k=-51(舍去).
∴a=3,k=50.
(2)由Sn=na1+d得
Sn=2n+×
2=n2+n.
∴bn==n+1,∴{bn}是等差数列,
则b3+b7+b11+…+b4n-1
=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)
=.
∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.
12.已知数列{an}的通项公式为an=2n,若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.
设{bn}的公差为d,则有
解得
从而bn=-16+12(n-1)=12n-28.
所以数列{bn}的前n项和
Sn==6n2-22n.
13.在等差数列{an}中,公差d>0,前n项和为Sn,a2·
a3=45,a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为等差数列?
若存在,求出c的值;
若不存在,请说明理由.
解
(1)由题设,知{an}是等差数列,且公差d>0,
则由得
解得∴an=4n-3(n∈N*).
(2)由bn===,
∵c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n.
∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),
∴数列{bn}是公差为2的等差数列.
即存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列.
第2讲 等比数列及其前n项和
1.设数列{a}前n项和为Sn,a1=t,a2=t2,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an}是________数列,通项an=________.
解析 由Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,得Sn+2-Sn+1=t(Sn+1-Sn),所以an+2=tan+1,所以=t,又=t,
所以{an}成等比数列,且an=t·
tn-1=tn.
答案 等比 tn
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2+a5=0,则=________.
解∵8a2+a5=8a1q+a1q4=a1q(8+q3)=0
∴q=-2
∴==1+q3=-7.
答案-7
3.数列{an}为正项等比数列,若a2=2,且an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前4项和S4=________.
解析 由a1q=2,a1qn-1+a1qn=6a1qn-2,得qn-1+qn=6qn-2,所以q2+q=6.又q>0,所以q=2,a1=1.
所以S4===15.
答案 15
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·
5n-2-,则实数t的值为________.
解析 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列知2=×
4t,显然t≠0,所以t=5.
答案 5
5.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·
a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·
an+1·
an+2≥的最大正整数n的值为________.
解析 由等比数列的性质,得4=a2·
a4=a(a3>0),所以a3=2,所以a1+a2=14-a3=12,于是由
解得所以an=8·
n-1=n-4.
于是由an·
an+2=a=3(n-3)=n-3≥,得n-3≤1,即n≤4.
答案 4
6.在等比数列{an}中,an>
0,若a1·
a2·
…·
a7·
a8=16,则a4+a5的最小值为________.
解析由已知a1a2·
a7a8=(a4a5)4=16,所以a4a5=2,又a4+a5≥2=2(当且仅当a4=a5=时取等号).所以a4+a5的最小值为2.
答案2
7.已知递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3·
a7=2,则=________.
解析∵{an}是递增的等比数列,∴a3a7=a2a8=2,
又∵a2+a8=3,
∴a2,a8是方程x2-3x+2=0的两根,则a2=1,a8=2,
∴q6==2,∴q3=,∴=q3=.
答案
8.设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值为________.
解析 由题意知a3=q,a5=q2,a7=q3且q≥1,a4=a2+1,a6=a2+2且a2≥1,那么有q2≥2且q3≥3.故q≥,即q的最小值为.
答案
11.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.
[来源:
Zxxk.Com]
(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为c的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.
解
(1)设等差数列{an}的公差是d.
依题意a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.
由a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.
所以数列{an}的通项公式为an=-3n+2.
(2)由数列{an+bn}是首项为1,公比为c的等比数列,[来源
得an+bn=cn-1,即-3n+2+bn=cn-1,
所以bn=3n-2+cn-1.
所以Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn-1)
=+(1+c+c2+…+cn-1).
从而当c=1时,Sn=+n=.
当c≠1时,Sn=+.[来源:
Z*xx*k.Com]
12.设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17.
(2)是否存在最小的正整数m,使得n≥m时,an>
恒成立?
若存在,求出m;
解
(1)设{an}的公比为q,由S4=1,S8=17知q≠1,所以得=1,
=17.
相除得=17,解得q4=16.所以q=2或q=-2(舍去).
由q=2可得a1=,所以an=.
(2)由an=>
,得2n-1>
2011,而210<
2011<
211,所以n-1≥11,即n≥12.
因此,存在最小的正整数m=12,使得n≥m时,an>
恒成立.
13.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2·
a4=65,a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值;
(3)是否存在常数k,使得数列{}为等差数列?
若存在,求出常数k;
解
(1)因为a1+a5=a2+a4=18,又a2·
a4=65,
所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根.
又公差d>0,所以a2<a4.所以a2=5,a4=13.
所以解得a1=1,d=4.所以an=4n-3.
(2)由1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,所以a1·
a21=a,即1·
81=(4i-3)2,解得i=3.
(3)由
(1)知,Sn=n·
1+·
4=2n2-n.
假设存在常数k,使数列{}为等差数列,
由等差数列通项公式,可设=an+b,
得2n2+(k-1)n=an2+2abn+b恒成立,可得a=2,b=0,k=1.所以存在k=1使得{}为等差数列.
第3讲 等差数列、等比数列与数列求和
1.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=________.
解析由题意设等差数列公差为d,则a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,a3,a6成等比数列,∴a=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得2d2-d=0.∵d≠0,∴d=,∴Sn=na1+d=+n.
答案+n
2.数列{an}的通项公式an=,若前n项的和为10,则项数为________.
解析∵an==-,∴Sn=-1=10,∴n=120.
答案120
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为________.
解析 ∵a5=5,S5=15,∴=15,即a1=1.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等差数列 及其 练习题