第十章排列组合和概率(第14课)二项式定理(3)--2004-12-14Word格式.doc

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教学难点：

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1），

（2）.

2．二项展开式的通项公式：

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；

求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数

定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．

直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵，

∴相对于的增减情况由决定，，

当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当是偶数时，中间一项取得最大值；

当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵，

令，则

三、讲解范例：

例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：

在展开式中，令，则，

即，

∴，

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：

由性质（3）及例1知.

例2．已知，求：

（1）；

（2）；

（3）.

解：

（1）当时，，展开式右边为

当时，，∴，

（2）令，①

令，②

①②得：

，∴.

（3）由展开式知：

均为负，均为正，

∴由

（2）中①+②得：

，

∴，

∴

例3.求（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展开式中x3的系数

=，

∴原式中实为这分子中的，则所求系数为

例4.在（x2+3x+2）5的展开式中，求x的系数

∵

∴在（x+1）5展开式中，常数项为1，含x的项为，

在（2+x）5展开式中，常数项为25=32，含x的项为

∴展开式中含x的项为，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；

3，求展开式的常数项

依题意

∴3n（n-1）（n-2）（n-3）/4!

=4n（n-1）/2!

n=10

设第r+1项为常数项，又

令，

此所求常数项为180

四、课堂练习：

（1）的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；

（2）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为．

（3）+++，则（）

A．　　 　B.　　 C.　 D.

（4）已知：

求：

的值

答案：

（1），，；

（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，

∴，；

（3）A．

五、小结：

1．性质是组合数公式的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

求的近似值，使误差小于．

展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴，

一般地当较小时

新疆奎屯市第一高级中学第5页（共5页）