第三章不等式单元测试(人教A版必修5)Word文档下载推荐.doc
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∴t≤s.
D
3.当x∈R时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.[0,4) D.(0,4)
(1)当k=0时,不等式变为1>0成立;
(2)当k≠0时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,
则
即0<k<4,所以0≤k<4.
4.设A={x|x2-2x-3>
0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则a+b等于( )
A.7 B.-1
C.1 D.-7
A=(-∞,-1)∪(3,+∞),
∵A∪B=R,A∩B=(3,4],则B=[-1,4],
∴a=-(-1+4)=-3,b=-1×
4=-4,
∴a+b=-7.
5.已知a,b,c满足a+b>0,ab>0,且ac<0,则下列选项中一定成立的是( )
A.ab>ac B.c(b-a)<0
C.cb2>ab2 D.c(b-a)>0
∵a+b>0,ab>0.∴a>0,b>0,
又∵ac<0,∴c<0.
∴b>c,又∵a>0,∴ab>ac.
A
6.满足不等式y2-x2≥0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( )
取测试点(0,1)可知C,D错;
再取测试点(0,-1)可知A错,故选B.
B
7.已知x,y为正实数,且x+4y=1,则xy的最大值为( )
A. B.
C. D.
∵x,y为正实数,
∴x·
y=x·
4y≤2=,
当且仅当x=4y即x=,y=时取等号.
8.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为( )
A.3,-11 B.-3,-11
C.11,-3 D.11,3
作出可行域如图所示.
目标函数y=x-z
则过B、A点时分别取到最大值与最小值.
易求B(5,3),A(3,5)
∴zmax=3×
5-4×
3=3.
∴zmin=3×
3-4×
5=-11.
9.若a>1,则a+的最小值是( )
A.0 B.2
C. D.3
a+=a-1++1
∵a>1,∴a-1>0
∴a-1++1≥2+1=3.
当且仅当a-1=即a=2时取等号.
10.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是( )
A.(1,3] B.[2,3]
C.(1,2] D.[3,+∞)
区域D如图中阴影部分所示
l
当y=ax过A点时a=3,当y=ax过B点时a=2,
由图知1<a<3.故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
11.已知-1<
x+y<
4且2<
x-y<
3,则z=2x-3y的取值范围是________.(答案用区间表示)
设2x-3y=m(x+y)+n(x-y)
即2x-3y=(m+n)x+(m-n)y
由-1<x+y<4
知-2<-(x+y)<①
由2<x-y<3知5<(x-y)<②
①+②得3<-(x+y)+(x-y)<8
即3<z<8
(3,8)
12.已知点P(x,y)满足条件(k为常数),若x+3y的最大值为8,则k=________.
作出可行域如图所示,
作直线l0:
x+3y=0,平移l0知当l0过点A时,x+3y最大,由于A点坐标为.
∴--k=8,从而k=-6.
-6
13.已知不等式<
1的解集为{x|x<
1或x>
2},则a=______.
原不等式化为<
0⇒(x-1)[(a-1)x+1]<
0.因为此不等式的解集为{x|x<
2},所以a-1<
0且=2,所以a=.
14.若<<0,已知下列不等式:
①a+b<ab;
②|a|>|b|;
③a<b;
④+>2;
⑤a2>b2;
⑥2a>2b.
其中正确的不等式的序号为________.
∵<<0,
∴b<a<0,故③错,
又b<a<0,可得|a|<|b|,a2<b2,故②⑤错.
①④⑥
三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对一切x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
若m2-2m-3=0,则m=-1或m=3.
当m=-1时,不合题意;
当m=3时,符合题意.
若m2-2m-3≠0,设f(x)=(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1,则由题意,得
解得:
-<m<3.
综合以上讨论,得-<m≤3.
16.(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区.为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于2km,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时?
设全部物资到达灾区所需时间为t小时,由题意可知,t相当于:
最后一辆车行驶了25个2km+400km所用的时间,
因此,t=+≥2=10.
当且仅当=,即x=80时取“=”.
故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少要10小时.
17.(本小题满分12分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
设投资人分别用x,y万元投资甲、乙两个项目,
目标函数为z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域.作直线l0:
x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M,此时z最大,这里点M是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点.
此时,z=4+0.5×
6=7(万元).
∴当x=4,y=6时,z取得最大值.
答:
投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能使可能的盈利最大.
18.(本小题满分14分)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
因为ax2-(a+1)x+1<0⇔(ax-1)(x-1)<0
(1)当a=0时,(ax-1)(x-1)<0⇔-x+1<0⇔x>1;
(2)当a<0时,(ax-1)(x-1)<0⇔(x-1)>0
⇔x<或x>1;
(3)当a>0时,(ax-1)(x-1)<0⇔(x-1)<0
因为-1==-
①当-<0即a>1时,
<1,(ax-1)(x-1)<0⇔<x<1.
②当-=0,即当a=1时,不等式的解集为∅.
③当->0,即0<a<1时,
1<,(ax-1)(x-1)<0⇔1<x<;
综上所述:
原不等式的解集为:
当a<0时为;
当a=0时为{x|x>1};
当0<a<1时为;
当a=1时为∅;
当a>1时为.
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