立体几何中的折叠、最值、取值范围问题综合能力提升篇(教师)Word文档格式.doc
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∴AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE.又∵AE∩AD=A,
∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE.
(2)取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG.
则MP∥AE,GP∥CB∥DA,∴MP∥平面DAE,GP∥平面DAE.
∵MP∩GP=P,∴平面MPG∥平面DAE.
∵MG⊂平面MPG,∴MG∥平面DAE,即存在点N与G重合满足条件.
2.(2015·
四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)证明:
直线MN∥平面BDH;
(3)求二面角A
EG
M的余弦值.
(1)点F,G,H的位置如图所示.
连接AC,BD交于点O,连接OH,OM.
因为M,N分别是BC,GH的中点,
所以OM∥CD,且OM=CD,HN∥CD,且HN=CD,
所以OM∥HN,OM=HN,
所以四边形MNHO是平行四边形,
从而MN∥OH.
又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,
所以MN∥平面BDH.
(3)方法一:
过M作MP⊥AC于P.在正方体ABCD
EFGH中,AC∥EG,所以MP⊥EG.
过P作PK⊥EG于K,连接KM,所以EG⊥平面PKM,
从而KM⊥EG,所以∠PKM是二面角A
M的平面角.
设AD=2,则CM=1,PK=2.
在Rt△CMP中,PM=CMsin45°
=.
在Rt△PKM中,KM==.
所以cos∠PKM==,即二面角A
M的余弦值为.
方法二:
如图,以D为坐标原点,分别以,,方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.
设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),
所以=(2,-2,0),=(-1,0,2).[来源:
学科网]
设平面EGM的一个法向量为n1=(x,y,z),
由得取x=2,得n1=(2,2,1).
在正方体ABCD
EFGH中,DO⊥平面AEGC,
则可取平面AEG的一个法向量为n2==(1,1,0),
所以cos〈n1,n2〉===,
故二面角A
题型二、立体几何中的最值问题
结合近年来全国各省市的高考中,考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现.在解决此类问题时,通常应注意分析题目中所有的条件,首先应该在充分理解题意的基础上,分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;
如果不能,再看是否可将问题条件转化为函数,若能写出确定的表意函数,则可用建立函数法求解;
再不能,则要考虑其中是否存在不等关系,看是否能运用解等不式法求解;
还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面,这样依次顺序思考,基本可以找到解题的途径.
3.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3,底面边长A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°
,D点在棱AA1上且AD=2DA1,P点在棱C1C上,则·
的最小值为( )
A. B.-C. D.-
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则D(1,0,2),B1(0,1,3),
设P(0,0,z),则=(1,0,2-z),=(0,1,3-z),∴·
=0+0+(2-z)(3-z)=(z-)2-,故当z=时,·
取得最小值-.
【答案】B
4.(2015·
四川卷)如图所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM和AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________.
【解析】分别以AB,AD,AQ为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,并设正方形边长为2,QM=m(0≤m≤2),则=(2,1,0),=(-1,m,2),
所以cosθ==(0≤m≤2).
令f(m)=(0≤m≤2),则f′(m)=.
因为m∈[0,2],所以f′(m)<0,故f(m)max=f(0)=,即cosθ的最大值为.
【答案】
5.(2015·
江苏卷)如图,在四棱锥P
ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.
【解析】以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
(1)因为AD⊥平面PAB,所以是平面PAB的一个法向量,=(0,2,0).
因为=(1,1,-2),=(0,2,-2).
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),
则,即
令y=1,解得z=1,x=1.
所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.
从而cos〈,m〉==,
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
(2)因为=(-1,0,2),设=λ=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),
又=(0,-1,0),则=+=(-λ,-1,2λ),又=(0,-2,2),
从而cos〈,〉==.
设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2〈,〉==≤.
当且仅当t=,即λ=时,|cos〈,〉|的最大值为.
因为y=cosx在上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.
又因为BP==,所以BQ=BP=.
题型三、立体几何中的取值范围问题
结合近年来全国各省市的高考中,考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等取值范围问题常常在高考试题中出现.此类问题的解法与立体几何中各类最值问题的解法基本一致.
6.(2014·
四川卷)如图所示,在正方体ABCD
A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】连接A1O,OP和PA1,不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角(或其补角)设正方体棱长为2,则A1O=.
(1)当P点与C点重合时,PO=,A1P=2,且cosα==-,此时α=∠A1OP为钝角,sinα==;
(2)当P点与C1点重合时,PO=A1O=,A1P=2,且cosα==,此时α=∠A1OP为锐角,sinα==;
(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中,CC1上一定存在一点P,使得α=∠A1OP=90°
.又因为<,故sinα的取值范围是.【答案】B
7.(2015·
河北正定中学上期第六次月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.
平面ABE⊥平面BEF;
(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈,求a的取值范围.
∵AB∥CD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点,
∴ABFD为矩形,AB⊥BF.∵DE=EC,∴DC⊥EF,
又AB∥CD,∴AB⊥EF,∵BF∩EF=E,
∴AE⊥面BEF,又AE⊂面ABE,∴平面ABE⊥平面BEF.
(2)∵DE=EC,∴DC⊥EF,又PD∥EF,AB∥CD,∴AB⊥PD,
又AB⊥PD,∴AB⊥面PAD,AB⊥PA,
以点A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系A-xyz,
则B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,a),E(1,1,).
∴=(-1,2,0),=(1,-1,).设平面EBD的法向量为m=(x,y,z),
令y=a,得x=2a,z=-2,则m=(2a,a,-2).
显然n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
由θ∈,知cosθ=|cos〈,m〉|==∈,
解得a∈.
1(2012·
浙江卷)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
【解析】对于AB⊥CD,因为BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而AB=CD=1,BC=AD=,可得AC=1,那么存在AC这样的位置,使得AB⊥CD成立.【答案】B
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC的中点,P,Q是正方体内部或面上的两个动点,则·
的最大值是( )
A. B.1C. D.
【解析】以A为坐标原点,分别以AD,AB,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),M(,1,0),所以=(,1,0).
设=(x,y,z),由题意可知因为·
=·
x+1·
y+0·
z=x+y,又-1≤x≤1,
-1≤y≤1,所以-≤x≤.所以-≤x+y≤.故·
的最大值为.
【答案】C
3.(2015·
浙江卷)如图所示,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′
CD
B的平面角为α,则( )
A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α
C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α
【解析】当AC=BC时,易知∠A′DB=α,当AC≠BC时,作A′E⊥CD,BF⊥CD,因为D是中点,故DE=DF,再作GF∥A′E,GA′∥EF,则∠GFB=α,设A′D=BD=m,FD=DE=n,则cos∠A′DB==,cosα===,显然cos∠A′DB<cosα,故∠A′DB>α.
4.(2016·
石家庄模拟)如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一
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- 立体几何 中的 折叠 范围 问题 综合 能力 提升 教师
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