立体几何专题二-存在性问题讲义Word格式文档下载.doc
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证明空间线面平行、垂直关系;
求空间的角和距离;
利用空间向量,将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合,使几何问题代数化等等。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角,突出空间想象能力,侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查,算中有证。
其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化,考查学生对图形的识别、理解和加工能力;
解答题则一般将线面集中于一个几何体中,即以一个多面体为依托,设置几个小问,设问形式以证明或计算为主。
二、热点题型范例
题型一、平行与垂直的证明;
题型二、空间角与距离;
题型三、探索性问题
题型四、折叠、展开问题;
题型五、表面积与体积问题
三、方法与技巧(空间向量的应用)
1.异面直线所成的角
设a、b是异面直线,分别是直线a,b上的向量,则异面直线a,b所成的角与的夹角的余弦值的绝对值相等.
2.二面角:
求两平面法向量的夹角与其夹角的补角
3.距离:
(在两者之间各取一点A与点B,是法向量)
3.解决有关垂直问题的方法:
(1).线线垂直:
(2).线面垂直:
(是直线的方向向量,平面法向量)
(3).面面垂直:
四、实例解析
例1、如图,在三棱柱中,,顶点在底面上的射影恰为点B,且
B
A
C
A1
B1
C1
.
(1)求棱与BC所成的角的大小;
(2)在线段上确定一点P,使,
并求出二面角的平面角的余弦值.ks5u
解:
(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
z
x
y
P
则,
,.
,
故与棱BC所成的角是.………………6分
(2)设,
则.
于是(舍去),
则P为棱的中点,其坐标为.……………8分
设平面的法向量为,
则,即
令
故……………11分
而平面的法向量=(1,0,0),则
故二面角的平面角的余弦值是.………………14分
例2.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分别是BC,PC的中点.
(Ⅰ)证明:
AE⊥PD;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,
求二面角E—AF—C的余弦值.
由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°
,可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.
所以AE⊥PD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系,又E、F分别为BC、PC的中点,
所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(C,1,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(),
所以
设平面AEF的一法向量为
则因此
取
因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC,
故为平面AFC的一法向量.
又=(),所以cos<,>=
因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为
例3、如图3,在四面体中,,且
图3
(1)设为的中点,证明:
在上存在一点,使,并计算的值;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
解法一:
(1)在平面内作交于,连接.
又,,
,
.
取为的中点,则,
,
在等腰中,,
,
在中,,,
在中,,
,
(2)连接,由,知:
.
又,又由,.
又,又是的中点,
,,
为二面角的平面角
在等腰中,,
在中,,在中,.
解法二:
在平面中,过点,作交于,取为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系(如图所示)
则
为中点,
设
.
即,.
所以存在点使得且.
(2)记平面的法向量为,则由,,且,
得,故可取
又平面的法向量为..
二面角的平面角是锐角,记为,则
例4、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
解法1:
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、
B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、
P(0,0,2)、E(0,,1),
从而
设的夹角为θ,则
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),
则,由NE⊥面PAC可得,
∴
即N点的坐标为,从而N点到AB、AP的距离分别为1,.
解法2:
(Ⅰ)设AC∩BD=O,连OE,则OE//PB,
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中,AO=1,OE=
∴
即AC与PB所成角的余弦值为.
(Ⅱ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则.
连PF,则在Rt△ADF中
设N为PF的中点,连NE,则NE//DF,
∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC,从而NE⊥面PAC.
∴N点到AB的距离,N点到AP的距离
例5、如图,已知平面∥平面β∥平面γ,且β位于与γ之间.点A、D∈,C、F∈γ,
AC∩β=B,DF∩β=E.
(1)求证:
=;
(2)设AF交β于M,AD与CF不平行,与β间距离为h′,与γ间距离为h,当的值是多少时,S△BEM的面积最大?
(1)证明:
,,
同理:
(2)由
(1)知
同理:
据题意知:
AD与CF异面,只是在间变化位置,故CF、AD是常量,
是AD与CF所成角的正弦值,也是常量.
令,只要考查函数的最值,
显然,当时,即时,有最大值.
当时,即在两平面的中间时面积最大.
例5、如图5,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,.
(1)求证:
平面;
(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.
(1)证明:
连接,设与相交于点,连接,
∵四边形是平行四边形,
∴点为的中点.
∵为的中点,
∴为△的中位线
∴.……2分
∵平面,平面,
∴平面.……4分
(2)解:
依题意知,,
∵平面,平面,
∴平面平面,且平面平面.
作,垂足为,则平面,……6分
设,
在Rt△中,,,
∴四棱锥的体积
.……8分
依题意得,,即.……9分
(以下求二面角的正切值提供两种解法)
解法1:
∵,平面,平面,
∴平面.
取的中点,连接,则,且.
作,垂足为,连接,
由于,且,
∵平面,
∴.
∴为二面角的平面角.……12分
由Rt△~Rt△,得,
得,
在Rt△中,.
∴二面角的正切值为.……14分
解法2:
∵,平面,平面,
∴平面.
以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,
轴和轴,建立空间直角坐标系.
则,,,.
∴,
设平面的法向量为,
由及,得
令,得.
故平面的一个法向量为,……11分
又平面的一个法向量为,
∴,.……12分
∴,.……13分
∴,.
∴二面角的正切值为.……14分
例6.如图6,正方形所在平面与圆所在平面相交于,线段为圆的弦,垂直于圆所在平面,垂足是圆上异于、的点,,圆的直径为9.
(1)求证:
平面平面;
(2)求二面角的平面角的正切值.
(1)证明:
∵垂直于圆所在平面,在圆所在平面上,
∴.
在正方形中,,
∵,∴平面.
∵平面,
∴平面平面.
(2)解法1:
∵平面,平面,
∴为圆的直径,即.
设正方形的边长为,
在△中,,
由,解得,.
过点作于点,作交于点,连结,
G
F
由于平面,平面,
∴.
∵,
∴平面.
∵,,
∴是二面角的平面角.
在△中,,,,
在△中,,
故二面角的平面角的正切值为.
∴为圆的直径,即.
由,解得,.
以为坐标原点,分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
.
设平面的法向量为,
则即
取,则是平面的一个法向量.
则
即
∵,
故二面角的平面角的正切值为.
例7、在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,PD=CD=AD=AB=a,
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