空间直线和平面复习总结Word文档格式.doc
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即:
(1)找出或作出有关的角;
(2)证明其符合定义;
(3)指出所求作的角;
(4)计算大小。
3.空间距离:
将空间距离转化为两点间距离——构造三角形,解三角形,求该线段的长。
4.点到面的距离,线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法:
三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
简单几何体:
(一)棱柱(两底面平行,侧棱平行的多面体)
(二)棱锥(底面是多边形,其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体)
定理:
截面与底面平行
则有
正棱锥的性质
概率与统计
(一)散型随机变量的分布列
性质:
二项分布:
若
则
期望:
方差:
(二)抽样方法
【典型例题】
例1.如图,在四面体ABCD中作截面EFG,若EG,DC的延长线交于M,FG、BC的延长线交于N,EF、DB的延长线交于P,求证M、N、P三点共线。
证明:
由已知,显然M、N、P在平面EFG上
又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上
故也在平面BCD上
即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点
∴它们必在这两个平面的交线上
根据公理2.M、N、P三点共线
例2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么AM与CM所成角的余弦值为()
分析:
如图,取AB中点E,CC1中点F
连结B1E、B1F、EF
则B1E//AM,B1F//NC
∴∠EB1F为AM与CN所成的角
又棱长为1
∴选D
例3.
其中正确的两个命题是()
A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③
∴②错
∴④错
∴①③正确,选D
例4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。
(1)证明PA//面EDB。
(2)PB⊥平面EFD。
证:
(1)连AC,AC交BD于O,连EO
∵底面ABCD是正方形
∴点O是AC中点
又E为PC中点
∴EO//PA
∴PA//面EDB
(2)∵PD⊥底面ABCD
∴BC⊥PD
∴BC⊥面PDC ∴BC⊥DE
又E为等直角三角形中点
∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB
∴PB⊥面DEF
例5.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,求证:
A1C⊥BC1。
设E、E1分别是BC、B1C1的中点,连AE,A1E1,B1E,E1C
注:
三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6.下列正方体中,l是一条体对角线,M、N、P分别为其所在棱的中点,如何证明l⊥面MNP。
③如图,取棱A1A、DC、B1C1的中点,分别记为E、F、G,显然EMFNGP为平面图形,而D1B与该平面垂直
∴l⊥面MNP
例7.
∠ACB=90°
,侧棱与底面成60°
的角。
又∠ACB=90°
,即AC⊥BC
∴D为AC中点
例8.已知Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=8,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点,沿DE将△ABC折成直二面角,使A到A’的位置(如图)。
求:
(1)C到A’D的距离;
(2)D到平面A’BC的距离;
(3)A’D与平面A’BC所成角的正弦值。
解:
(1)∵二面角A’-DE-B是直二面角
又A’E⊥ED,CE⊥ED
∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED
作EF⊥A’D于F,连结CF,则CF⊥A’D
∴CF即为C点到直线A’D的距离
在Rt△A’ED中,EF·
A’D=A’E·
ED
∴DE//面A’BC
∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离
过E作EM⊥A’C于M
∵ED⊥面A’EC
又BC//ED
∴BC⊥面A’EC
∴BC⊥EM
∴EM⊥面A’BC
或者用体积法:
例9.
(1)证明:
(2)解:
又取BC中点N,连结NF
例10.将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验,如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时,则称为这次试验成功。
(1)求一次试验成功的概率;
(2)在试验成功的所有情况中,以表示两次抛掷的骰子出现的点数和,求的概率分布列及数学期望。
解:
(1)两次抛掷出现点数之和大于9的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)
(2)在成功的条件下,ξ=10,11,12
【模拟试题】
一.选择题
1.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线()
A.成异面直线 B.相交 C.平行 D.平行或相交
2.已知直线a,b,平面,有下列四个命题
①;
②;
③;
④
其中正确的命题有()
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.以上都不对
3.边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,,这时二面角B-AD-C的大小为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4.设a,b是两条异面直线,P是a,b外的一点,则下列结论正确的是()
A.过P有一条直线和a,b都平行
B.过P有一条直线和a,b都相交
C.过P有一条直线和a,b都垂直
D.过P有一个平面与a,b都平行
5.若a,b是异面直线,点A、B在直线a上,点C、D在直线b上,且AD=AC,BD=BC,则直线a,b所成的角为()
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
二.填空题
6.设正方体的棱长为1,则
(1)A点到的距离为_____________
(2)A点到的距离为_____________
(3)A点到面的距离为_____________
(4)A点到面的距离为_____________
(5)的距离为_____________
7.如图,正方形ABCD中,E、F分别是中点,现沿AE、AF、EF把它折成一个四面体,使B、D、C三点重合于G,则=_____________。
8.把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°
的二面角,则点A到BC的距离为_________________。
9.如图PA⊥⊙O面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E、F分别是A在PB、PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB,②EF⊥PB,③AF⊥BC,④AE⊥平面PBC,其中正确命题的序号是_____________。
10.平面,其交线为l,,AB与所成角为30°
,则AB与α所成角的取值范围是_____________。
三.解答题
11.四面体ABCS中,SB、SC、SA两两垂直,∠SBA=45°
,∠SBC=60°
,M为AB的中点。
(1)BC与面SAB所成的角;
(2)SC与平面ABC所成角的正弦值。
12.AB为⊙O的直径,C为弧AB上的一点(异于A、B),PA⊥平面ABC。
(1)求证:
面PAC⊥面PBC;
(2)若AE⊥PC于E,则面AEB⊥面PBC,BE为交线。
13.在矩形ABCD中,已知,E是AD的中点,沿BE将△ABE折到△的位置,使。
(1)求证:
平面平面BCDE。
(2)求和面BCD所成角的大小。
14.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°
,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,。
(I)求;
(II)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
15.一个由5人组成的数学课外活动小组,其中2名女生,3名男生,老师每天从5人中随机抽查3人。
(1)求一次抽查时,2名女生全被抽到的概率;
(2)用表示一周5天中,2名女生同时被抽查的次数,求随机变量的概率分布和它的数学期望。
【试题答案】
一.1.C 2.C 3.C
4.C(当P点和直线a确定的平面与b平行时,则过P点的直线与a不相交,∴B错,当P点在a或b上时,D不成立)
5.A
二.6.
7.
8.
9.①②③
10.(0°
,60°
]
(如图∠ABD≥30°
,∴90°
-∠BAD≥30°
∴∠BAD≤60°
∴0<
∠BAD≤60°
)
三.11.解:
(1)∵SC⊥SA,SC⊥SB
∴SC⊥面SAB
∴SB是CB在面SAB上的射影
∴∠SBC是直线BC与面SAB所成的角,且为60°
(2)连SM,CM,则SM⊥AB(△SAB为等腰Rt△)
∴AB⊥面CSM
设SH⊥CM于H,则AB⊥SH
∴SH⊥面ABC
∴∠S
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