研究院北京8一模理分类汇编圆锥曲线教师版Word格式.docx
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6.
7.(2018石景山一模·
理)双曲线的焦距是________,渐近线方程是________.
7.,
8.(2018房山一模·
理)抛物线的焦点坐标为.
8.
9.(2018丰台一模·
理)已知抛物线M的开口向下,其焦点是双曲线的一个焦点,则M的标准方程为____.
9.
10.(2018延庆一模·
理)(本小题满分14分)
已知椭圆:
过点且离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与椭圆有且只有一个公共点,试探究:
的面积是否存在最小值?
若存在,求出该最小值;
若不存在,说明理由.
10.(Ⅰ)由已知得
所以椭圆的方程为…………4分
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线为或
都有.………6分
当直线的斜率存在时,设直线,
由消去,可得
,由题可知,,有………8分
又可得;
同理可得.
由原点到直线的距离为和
可得………10分
∵,∴………11分
当,即时,………12分
当,即时,
因为,所以,所以,当且仅当时等号成立.综上,当时,的面积存在最小值为………14分
11.(2018西城一模·
已知圆和椭圆,是椭圆的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率和点的坐标;
(Ⅱ)点在椭圆上,过作轴的垂线,交圆于点(不重合),是过点的圆的切线.圆的圆心为点,半径长为.试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
11.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由题意,椭圆的标准方程为.[1分]
所以,,从而.
因此,.
故椭圆的离心率.[3分]
椭圆的左焦点的坐标为.[4分]
(Ⅱ)直线与圆相切.证明如下:
[5分]
设,其中,则,[6分]
依题意可设,则.[7分]
直线的方程为,
整理为.[9分]
所以圆的圆心到直线的距离.[11分]
因为.[13分]
所以,
即,
所以直线与圆相切.[14分]
12.(2018石景山一模·
理)(本小题共13分)
在平面直角坐标系中,动点到定点的距离与它到直线的距离相等.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设动直线与曲线相切于点,与直线相交于点.
证明:
以为直径的圆恒过轴上某定点.
(本小题共13分)
12.(Ⅰ)解:
设动点E的坐标为,
由抛物线定义知,动点E的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,
所以动点E的轨迹C的方程为.……………5分
(Ⅱ)证明:
由,消去得:
.
因为直线l与抛物线相切,所以,即.……8分
所以直线l的方程为.
令,得.
所以Q.……………10分
设切点坐标,则,
解得:
,……………11分
设,
所以当,即
所以
所以以PQ为直径的圆恒过轴上定点.……………13分
13.(2018海淀一模·
理)(本小题14分)
的离心率为,且点在椭圆上.设与平行的直线与椭圆相交于两点,直线分别与轴正半轴交于两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)判断的值是否为定值,并证明你的结论.
13.(本小题14分)
(Ⅰ)由题意,
,,
故椭圆的标准方程为 5分
(Ⅱ)假设直线TP或TQ的斜率不存在,则P点或Q点的坐标为(2,-1),直线l的方程为,即.
联立方程,得,
此时,直线l与椭圆C相切,不合题意.
故直线TP和TQ的斜率存在.
方法1:
设,,则
直线,
直线
故,
由直线,设直线()
联立方程,
当时,,
14分
方法2:
设,,直线和的斜率分别为和
由,设直线()
联立方程,
故直线和直线的斜率和为零
故
故
故在线段的中垂线上,即的中点横坐标为2
故 14分
14.(2018丰台一模·
理)(本小题共14分)
已知点在椭圆:
上,是椭圆的一个焦点.
(Ⅱ)椭圆C上不与点重合的两点,关于原点O对称,直线,分别交轴于,两点.求证:
以为直径的圆被直线截得的弦长是定值.
14.(本小题共14分)
(Ⅰ)依题意,椭圆的另一个焦点为,且.……………………1分
因为,
所以,,……………………3分
所以椭圆的方程为.……………………4分
由题意可知,两点与点不重合.
因为,两点关于原点对称,
所以设,,.……………………5分
设以为直径的圆与直线交于两点,
所以.……………………6分
直线:
当时,,所以.……………………7分
当时,,所以.……………………8分
所以,,……………………9分
因为,所以,……………………10分
所以.……………………11分
因为,即,,……………………12分
所以,所以.……………………13分
所以,,所以.
所以以为直径的圆被直线截得的弦长是定值.……………………14分
15.(2018房山一模·
理)(本小题分)
已知椭圆:
过点,离心率.
(Ⅱ)过点作斜率为的直线,与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线交轴于点,求证:
为定值.
15.(Ⅰ)根据题意
解得:
所以椭圆的方程为……………5分
(Ⅱ)设直线的方程为
由得
由得且
设,线段中点
那么,
设,根据题意
所以,得
=
所以为定值…………………14分
16.(2018东城一模·
理)(本小题13分)
已知椭圆的离心率为,且过点A(2,0).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设M,N是椭圆上不同于点的两点,且直线AM,AN的斜率之积等于-.试问直线MN是否过定点?
若是,求出该点的坐标;
若不是,请说明理由.
16.(共13分)
(I)由已知有解得
椭圆C的方程为.……………………………4分
(II)若直线MN斜率存在,设直线MN方程为.
由消去,得.
当,设,
则………..①,………..②.
由以及,整理,得
.
将①,②代入上式,整理,得,解得或.
当时,直线过;
当时,直线过(舍).
若直线MN斜率不存在,则直线斜率互为相反数.
不妨设,于是直线与椭圆交于,
由对称性可知直线与椭圆交于.
所以直线MN也过.
综上,直线MN过定点.……………………………13分
17.(2018朝阳一模·
理)(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,且过点.
(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与大小关系并加以证明.
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)由题意得解得,,.
故椭圆的方程为.….….5分
(Ⅱ).
证明如下:
由题意可设直线的方程为,直线的方程为,设点,,,.
要证,即证直线与直线的斜率之和为零,即.
因为
.
由得,
所以,.
由得,所以.
所以.
所以.….….14分
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