直线、平面平行的判定与性质知识点大全、经典例题解析、高考练习题带答案大全文档格式.doc
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a∩α=A
a||α
图形表示
注:
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
2、直线和平面平行
(1)定义:
直线和平面没有公共点,则称此直线L和平面α平行,记作L||α。
(2)判定定理:
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行.
符号表示:
.
1、性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.简记为:
线面平行,则线线平行.
若.
2.平面与平面平行的判定与性质
1、定义:
没有公共点的两个平面叫做平行平面。
符号表示为:
平面α、平面β,若a∩β=∅,则a∥β
2、判定定理:
判定
文字描述
如果两个平面无公共点,责成这两个平面平行
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
如果两个平面同时垂直于一条直线,那么这两个平面垂直。
图形
条件
α,b⊂β
α∩b=P
α∥α
b∥α
l⊥α
l⊥β
结论
3、性质定理:
性质
如果两个平行平面同时和第三平面相交,那么他们的交线平行
如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β
β∩γ=b
α∩γ=a
l⊥α
α∥β
a⊂β
a∥b
l⊥β
a∥α
3.解题方法
(1)证明直线与平面平行的常用方法:
2.利用定义,证明直线与平面没有公共点。
一般结合反证法来证明;
3.利用直线和平面平行的判定定理,注意定理成立时应满足的条件;
4.利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行;
2、证明平面与平面平行的常用方法:
(1)利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合;
(2)利用面面平行的判定定理;
(3)利用两个平面垂直于同一直线;
(4)证明两个平面同时平行于第三个平面;
【经典例题】
【例1】
(2012浙江)设l是直线,,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是()
A.若l∥,l∥β,则∥βB.若l∥,l⊥β,则⊥β
C.若⊥β,l⊥,则l⊥βD.若⊥β,l⊥,则l⊥β
【解析】B
【例2】
(2012四川)下列命题正确的是()
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【解析】C
【例3】
(2011江西)已知,,是三个相互平行的平面.平面,之间的距离为,平面,之间的距离为.直线与,,分别相交于,,,那么“=”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【例4】
(2011辽宁)如图,四棱锥S—ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【解析】D
【例5】
(2012全国)设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且
则“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件
【解析】A
【例6】
(2012河南),,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()
A., B.,
C.,,共面 D.,,共点,,共面
【例7】
(2012江苏)
如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点D不同于点C),且为的中点.
D
C
A
B
E
F
求证:
(1)平面平面;
(2)直线平面ADE.
【解析】
(1)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
∴CC1⊥平面ABC,
∵AD⊂平面ABC,
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1,
∵AD⊂平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)∵△A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1,
∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F⊂平面A1B1C1,
∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1,
∴A1F∥AD
∵A1F⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,
∴直线A1F∥平面ADE.
【例8】
(2012浙江)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°
,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.
(Ⅰ)证明:
MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.
(Ⅰ)如图连接BD.
∵M,N分别为PB,PD的中点,
∴在PBD中,MN∥BD.
又MN平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD;
(Ⅱ).
【例9】
(2012北京)如图1,在中,,分别为的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使,如图2。
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?
说明理由。
【解析】解:
(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,
∴DE∥BC,又DE⊄平面A1CB,
∴DE∥平面A1CB,
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
∴DE⊥AC,
∴DE⊥A1D,又DE⊥CD,
∴DE⊥平面A1DC,而A1F⊂平面A1DC,
∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD,
∴A1F⊥平面BCDE,
∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:
如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
∵DE∥BC,
∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC,
∴DE⊥A1C,
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
∴A1C⊥DP,
∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ,
故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ
【例10】
(2013四川)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°
,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设
(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值.
(1)过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,
由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.
(2)二面角A-A1M-N的余弦值为.
【例11】
(2012河南)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,
连接AP交棱CC1于D.
PB1∥平面BDA1;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.
【解析】二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.
【例12】
(2012辽宁)如图,直三棱柱,,点M,N分别为和的中点.
(Ⅰ)证明:
∥平面;
(Ⅱ)若二面角为直二面角,求的值.
(1)连结AB′,AC′,由已知∠BAC=90°
AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′中点.
又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA′为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系O-xyz,
设AA′=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).
所以M,N.
设=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,可取=(1,-1,λ).
设=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,可取=(-3,-1,λ).
因为A′-MN-C为直二面角,所以-3+(-1)×
(-1)+λ2=0,解得λ=.
【课堂练习】
1、(2006陕西)已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是()
A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
2、(2013新课标)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,lα,lβ,则( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
3、(2013广东)设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
4、(2011烟台)已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中正确命题的个数为( )
A.1B.2
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