用基本不等式证题的技巧与策略Word格式文档下载.doc
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证明:
∵=·
≤·
,
同理≤·
,≤·
.
∴++≤·
[4(a+b+c)+3+7]=.
当且仅当4a+1=4b+1=4c+1=,即a=b=c=时,上式“=”号成立.
二、配项
在使用基本不等式时,若能巧妙地添式配项,就可以把问题转化.
例2已知a,a,…,a均为正数,且a+a+…+a=1,求证:
++…+≥.
因a,a,…,a均为正数,故+≥a,+≥a,
……,+≥a.
又因++…+=(a+a+…+a)=,
所以,把以上各同向不等式相加,得:
++…++≥a+a+…+a=1.
故++…+≥.
三、构造
根据问题的整体结构,用基本不等式构造对偶式,然后经过某些运算,促使问题的转化与解决.
例3已知a,a,…,a均为实数,且a+a+…+a=A(A>0),a+a+…+a=(nN,n≥2),求证:
0≤a≤.(k=1,2,…,n)
构造基本不等式如下:
·
a≤[()+a],·
a≤[()+a],……,·
a≤[()+a].
将上述(n-1)个同向不等式相加得:
(a+a+…+a)≤[(A-a)+a+a+…+a],
即≤[+-a]na-2aA≤0,0≤a≤.
同理可求得0≤a≤.(k=1,2,…,n)
四、平方
通过平方运算,一可以把和(积)凑成定值,二可以把和(积)问题转化为积(和)问题.
例4若a、b、cR+,a+b+c=3,求证:
++≤3.
∵(++)=2a+1+2b+1+2c+1+2+2+2≤2(a+b+c)+3+(2a+1)+(2b+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2c+1)+(2a+1)=6(a+b+c)+9=27.
∴++≤3.
五、引参
通过巧妙地引入参数,把问题转化成基本不等式结构,使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用.
例5已知a、b、cR+,a+b+c=1,,求证:
++≤4.
引入待定正参数t,
∵t=≤(t+13a+1)①,
同理t=≤(t+13b+1)②,
t=≤(t+13c+1)③。
①+②+③得:
t(++)≤(3t+13a+13b+13c+3)=t+8.
∵t>0,∴++≤t+.④
由于t>0,则t+≥2=3.
当且仅当t===,即t=时,④式取等号,
将t=代入④得:
六、换元
通过换元,把生疏的结构转化为基本不等式形式,使证题思路自然、简捷.
例6已知a、b、c为△ABC三边的长,求证:
abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
设m=b+c-a,n=c+a-b,p=a+b-c,则由三角形两边之和大于第三边,得m>0,n>0,p>0,且a=,b=,c=.
于是abc=·
≥·
=mnp=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
七、配对
根据已知不等式的某一边结构,给其配上一个与之对称的代数式,然后将两个代数式联立再使用基本不等式,完成不等式的证明.
例7设a,a,…,a和b,b,…,b均为正数,且a+a+…+a=b+b+…+b,求证:
++…+≥(a+a+…+a).
设M=++…+,
给M配对:
N=++…+.
则M-N=++…+
=(a-b)+(a-b)+…+(a-b)
=(a+a+…+a)-(b+b+…+b)=0.
∴M=N.
当注意到a+b≥(a+b)和a+a+…+a=b+b+…+b得:
M+N=++…+
≥(a+b)+(a+b)+…+(a+b)
=(a+a+…+a)+(b+b+…+b)
=a+a+…+a.
由M=N,所以++…+≥(a+a+…+a).
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- 关 键 词:
- 基本 不等式 技巧 策略