湘教版高中数学必修四知识点总结Word下载.doc
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9、余弦定理的推论:
,,.
10、如何判断三角形的形状:
判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式
设、、是的角、、的对边,则:
①若,则;
②若,则;
③若,则.
题型之一:
求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.
1.在中,AB=3,AC=2,BC=,则()
A.B.C.D.
【答案】D
4(2005年全国高考江苏卷)中,,BC=3,则的周长为()
A.B.
C.D.
分析:
由正弦定理,求出b及c,或整体求出b+c,则周长为3+b+c而得到结果.选(D).
5(2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中,已知,AC边上的中线BD=,求sinA的值.
本题关键是利用余弦定理,求出AC及BC,再由正弦定理,即得sinA.
解:
设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且,设BE=x
在ΔBDE中利用余弦定理可得:
,
,解得,(舍去)
故BC=2,从而,即又,
故,
在△ABC中,已知a=2,b=,C=15°
,求A。
答案:
题型之二:
判断三角形的形状:
给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状.
1.(2005年北京春季高考题)在中,已知,那么一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
解法1:
由=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
即sinAcosB-cosAsinB=0,得sin(A-B)=0,得A=B.故选(B).
解法2:
由题意,得cosB=,再由余弦定理,得cosB=.
∴=,即a2=b2,得a=b,故选(B).
评注:
判断三角形形状,通常用两种典型方法:
⑴统一化为角,再判断(如解法1),⑵统一化为边,再判断(如解法2).
2.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
C
解析:
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC,
∴sin(A-B)=0,∴A=B
3.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状。
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
4.在△ABC中,,判断△ABC的形状。
△ABC为等腰三角形或直角三角形。
题型之三:
解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题.
1.(2005年全国高考上海卷)在中,若,,,
则的面积S=_________
2.在中,,,,求的值和的面积。
3.(07浙江理18)已知的周长为,且.
(I)求边的长;
(II)若的面积为,求角的度数.
(I)由题意及正弦定理,得,,
两式相减,得.
(II)由的面积,得,
由余弦定理,得,
所以.
题型之四:
三角形中求值问题
1.(2005年全国高考天津卷)在中,所对的边长分别为,
设满足条件和,求和的值.
本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理.
由余弦定理,因此,
在△ABC中,∠C=180°
-∠A-∠B=120°
-∠B.
由已知条件,应用正弦定理
解得从而
2.的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
由A+B+C=π,得=-,所以有cos=sin。
cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=-2(sin-)2+;
当sin=,即A=时,cosA+2cos取得最大值为。
3.在锐角中,角所对的边分别为,已知,
(1)求的值;
(2)若,,求的值。
(1)因为锐角△ABC中,A+B+C=p,,所以cosA=,
则
(2),则bc=3。
将a=2,cosA=,c=代入余弦定理:
中,
得解得b=。
点评:
知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时,灵活逆用公式求得结果即可。
4.在中,内角对边的边长分别是,已知,.
(Ⅰ)若的面积等于,求;
(Ⅱ)若,求的面积.
本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分12分.
(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,,
又因为的面积等于,所以,得. 4分
联立方程组解得,. 6分
(Ⅱ)由题意得,
即, 8分
当时,,,,,
当时,得,由正弦定理得,
联立方程组解得,.
所以的面积. 12分
题型之五:
正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下:
(一.)测量问题
图1
A
B
D
1.如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°
,∠CBA=75°
,AB=120cm,求河的宽度。
求河的宽度,就是求△ABC在AB边上的高,而在河的一边,已测出AB长、∠CAB、∠CBA,这个三角形可确定。
由正弦定理得
,∴AC=AB=120m,又∵,解得CD=60m。
虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。
(二.)遇险问题
2某舰艇测得灯塔在它的东15°
北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30°
北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?
西
北
南
东
30°
15°
图2
如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°
北的方向上;
舰艇航行半小时后到达B点,测得S在东30°
北的方向上。
在△ABC中,可知AB=30×
0.5=15,∠ABS=150°
,∠ASB=15°
,由正弦定理得BS=AB=15,过点S作SC⊥直线AB,垂足为C,则SC=15sin30°
=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里,而灯塔周围10海里内有暗礁,故继续航行有触礁的危险。
有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是:
(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;
(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
数列复习基本知识点及经典结论总结
1、数列的概念:
数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
递推关系式:
已知数列的第一项(或前几项),且任何一项与它的前一项(前n项)间的关系可以用一个式子来表示,则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的前n项和:
.
已知求的方法(只有一种):
即利用公式=注意:
一定不要忘记对n取值的讨论!
最后,还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式,从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念:
1、等差数列的定义:
如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
即.(或).
(1)等差数列的判断方法:
①定义法:
为等差数列。
②中项法:
为等差数列。
③通项公式法:
(a,b为常数)为等差数列。
④前n项和公式法:
(A,B为常数)为等差数列。
(2)等差数列的通项:
或。
公式变形为:
.其中a=d,b=-d.
(3)等差数列的前和:
,。
公式变形为:
,其中A=,B=.注意:
已知n,d,,,中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。
如
(1)数列中,,,前n项和,则=_,=_(答:
,);
(2)已知数列的前n项和,求数列的前项和(答:
).
(4)等差中项:
若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且。
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
、、、及,其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);
偶数个数成等差,可设为…,,…(公差为2)
3.等差数列的性质:
(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;
前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)对称性:
若是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当时,则有,特别地,当时,则有.如
(1)等差数列中,,则=____(答:
27);
(4)单调性:
设d为等差数列的公差,则
d>
0是递增数列;
d<
0是递减数列;
d=0是常数数列
(5)若等差数列、的前和分别为、,且,则.如设{}与{}是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么___________(答:
)
(8)8、已知成等差数列,求的最值问题:
法一:
利用邻项变号法
①若,d<
0且满足,则最大;
②若,d>
0且满足,则最小.
法二:
因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
上述两种方法是运用了哪种数学思想?
(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
如
(1)等差数列中,,,问此数列前多少项和最大?
并求此最大值。
(答:
前13项和最大,最大值为169);
(2)若是等差数列,首项,
,则使前n项和成立的最大正整数n是(答:
4006)
4.等比数列的有关概念:
如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。
即(或
(1)等比数列的判断方法:
定义法,其中或
。
如
(1)一个等比数列{}共有项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则为____(答:
);
(2)数列中,=4+1()且=1,若,求证:
数列{}是等比数列。
(2)等比数列的通项:
如设等比数列中,,,前项和=126,求和公比.(答:
,或2)
(3)等比数列的前和:
当时,;
当时,。
如
(1)等比数列中,=2,S99=77,求(答:
44)
特别提醒:
等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比是否为1时,要对分和两种情形讨论求解。
(4)等比中项:
如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G=.提醒:
不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个。
如已知两
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