河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案Word格式文档下载.docx
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A.B.C.D.
8.执行如下程序框图,则输出结果为()
A.B.C.D.
9.如图,设椭圆:
的右顶点为,右焦点为,为椭圆在第二象限上的点,直线交椭圆于点,若直线平分线段于,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
10.设函数为定义域为的奇函数,且,当时,,则函数在区间上的所有零点的和为()
A.B.C.D.
11.已知函数,其中为函数的导数,求()
A.B.C.D.
12.已知直线:
,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程:
①;
②;
③;
④.
其中直线的“绝对曲线”的条数为()
A.B.C.D.
二、填空题:
(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.已知实数,满足,且,则实数的取值范围.
14.双曲线的左右焦点分别为、,是双曲线右支上一点,为的内心,交轴于点,若,且,则双曲线的离心率的值为.
15.若平面向量,满足,则在方向上投影的最大值是.
16.观察下列各式:
;
……
若按上述规律展开后,发现等式右边含有“”这个数,则的值为.
三、解答题:
(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)
17.已知等差数列中,公差,,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若为数列的前项和,且存在,使得成立,求实数的取值范围.
18.为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:
(1)已知该校有名学生,试估计全校学生中,每天学习不足小时的人数.
(2)若从学习时间不少于小时的学生中选取人,设选到的男生人数为,求随机变量的分布列.
(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.(只需写出结论)
19.如图所示,四棱锥的底面为矩形,已知,,过底面对角线作与平行的平面交于.
(1)试判定点的位置,并加以证明;
(2)求二面角的余弦值.
20.在平面直角坐标平面中,的两个顶点为,,平面内两点、同时满足:
③.
(1)求顶点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,,直线,与的轨迹相交弦分别为,,设弦,的中点分别为,.
①求四边形的面积的最小值;
②试问:
直线是否恒过一个定点?
若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由.
21.已知函数.
(1)当,求函数的图象在处的切线方程;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)已知,,均为正实数,且,求证.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中,曲线的参数方程为:
(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,若,分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知.
(1)当时,解不等式.
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
十模数学答案(理)
一、选择题
1-5:
BDACD6-10:
DACCA11、12:
AC
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解:
(1)由题意可得,即.
又因为,所以.所以.
(2)因为,所以.
因为存在,使得成立,所以存在,使得成立,
即存在,使得成立.
又,(当且仅当时取等号),
所以.即实数的取值范围是.
18.解:
(1)由折线图可得共抽取了人,其中男生中学习时间不足小时的有人,女生中学习时间不足小时的有人.
∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为:
人.
(2)学习时间不少于本的学生共人,其中男学生人数为人,故的所有可能取值为,,,,.
由题意可得;
.
所以随机变量的分布列为
∴均值.
(3)由折线图可得.
19.解:
(1)为的中点,证明如下:
连接,因为平面,平面平面,平面,所以,又为的中点,所以为的中点.
(2)连接,因为四边形为矩形,所以.因为,所以.同理,得,所以平面,以为原点,为轴,过平行于的直线为轴,过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系(如图所示).
易知,,,,,,
则,.
显然,是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量,
则,即,取,
则,
所以,
所以二面角的余弦值为.
20.
(1);
(2)①的最小值的,②直线恒过定点.
试题解析:
(1)∵,
∴由①知,
∴为的重心.
设,则,由②知是的外心,
∴在轴上由③知,由,得,化简整理得:
(2)解:
恰为的右焦点,
①当直线,的斜率存且不为时,设直线的方程为,
由,
设,,则,,
①根据焦半径公式得,
又,
所以,同理,
当,即时取等号.
②根据中点坐标公式得,同理可求得,
则直线的斜率为,
∴直线的方程为,
整理化简得,
令,解得.
∴直线恒过定点.
②当直线,有一条直线斜率不存在时,另一条斜率一定为,直线即为轴,过点.
综上,的最小值的,直线恒过定点.
21.
(1)当时,则,
∴函数的图象在时的切线方程为.
(2)∵函数在上单调递增,∴在上无解,
当时,在上无解满足,
当时,只需,∴①
,
∵函数在上单调递增,∴在上恒成立,
即在上恒成立.
设,
∵,∴,则在上单调递增,
∴在上的值域为.
∴在上恒成立,则②
综合①②得实数的取值范围为.
(3)由
(2)知,当时,在上单调递增,
于是当时,,
当时,,
∴,即,
同理有,,
三式相加得.
22.解:
(1)∵的极坐标方程是,∴,整理得,∴的直角坐标方程为.
曲线:
,∴,故的普通方程为.
(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为,则曲线的参数方程为(为参数).设,则点到曲线的距离为.
当时,有最小值,所以的最小值为.
23.解:
(1)当时,等式,即,
等价于或或,
解得或,
所以原不等式的解集为;
(2)设,则,
则在上是减函数,在上是增函数,
∴当时,取最小值且最小值为,
∴,解得,∴实数的取值范围为.
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