正弦定理、余弦定理(培优)第一讲(4课时)Word文档格式.doc
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正弦定理的几个变形
(1)a=________,b=_________,c=_________
(2)sinA=_______,sinB=________,sinC=_______
(3)a:
b:
c=____________________.
在解三角形时,常用的结论
(1)在三角形中,A>
B______________________
(2)sin(A+B)=sinC
(3)三角形的面积公式:
正弦定理可解决两类问题:
(1)
(2)
2.余弦定理:
=,=,=.
变形:
cosA,cosB=,cosC=
余弦定理可解决两类问题:
①已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;
②已知三边问题
根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
①化边为角;
②化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换。
三、知识应用
例1、
(1)(2009·
广东)已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a=c=+,且∠A=75°
,则b等于( )
A.2B.4+2C.4-2D.-
(2)(2011·
滨州质检)△ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°
,则△ABC的面积等于( )
A.B.C.或D.或
(3)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,若ccosB=bcosC,且cosA=,则sinB等于( )
A.±
B.C.±
D.
(4)(2010·
天津)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
(5)在△ABC中,a=,b=,sinB=,则符合条件的三角形有( )
A.1个B.2个C.3个D.0个
(6)在△ABC中,B=60°
,b2=ac,则该三角形一定是()
A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形
例2、
(1)(2011·
南京模拟)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=5,b=7,cosC=,则角A的大小为__________.
沈阳模拟)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若b2+c2=a2+bc,且·
=4,则△ABC的面积等于__________.
(3)(2011·
上海模拟)在直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-1,0),C(1,0),顶点B在椭圆+=1上,则的值为__________.
四、综合应用
例3、(2010·
天津)在△ABC中,=.
(1)求证:
B=C;
(2)若cosA=-,求sin的值.
例4、(2010·
浙江)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知cos2C=-.
(1)求sinC的值;
(2)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.
例5、(2010·
辽宁)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的最大值.
例6、(2010·
安徽)设△ABC是锐角三角形,a、b、c分别是内角A、B、C所对边长,并且sin2A=sinsin+sin2B.
(1)求角A的值;
(2)若·
=12,a=2,求b、c(其中b<c).
例7、(2010·
全国Ⅱ)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.
例8、在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果()sin(A-B)=()sin(A+B),判断三角形的形状.
例9、在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积
4
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