椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)Word文档下载推荐.doc
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配方得:
即
由任意三角形的面积公式得:
.
同理可证,在椭圆(>>0)中,公式仍然成立.
典型例题
例1若P是椭圆上的一点,、是其焦点,且,求
△的面积.
例2已知P是椭圆上的点,、分别是椭圆的左、右焦点,若,则△的面积为()
A.B.C.D.
例3(04湖北)已知椭圆的左、右焦点分别是、,点P在椭圆上.若P、、是一个直角三角形的三个顶点,则点P到轴的距离为()
A.B.C.D.或
答案:
解法一:
在椭圆中,而记
点P在椭圆上,
由椭圆的第一定义得:
配方,得:
从而
解法二:
在椭圆中,,而
解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现!
解:
设,则,
故选答案A.
若或是直角顶点,则点P到轴的距离为半通径的长;
若P是直角顶点,设点P到轴的距离为h,则,又
,故答案选D.
金指点睛
1(略).椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直,则△的面积为()
A.20B.22C.28D.24
2.椭圆的左右焦点为、,P是椭圆上一点,当△的面积为1时,的值为()
A.0B.1C.3D.6
3.椭圆的左右焦点为、,P是椭圆上一点,当△的面积最大时,的值为()
A.0B.2C.4D.
4.已知椭圆(>1)的两个焦点为、,P为椭圆上一点,且,则的值为()
A.1 B. C. D.
5.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,、为焦点,点P在椭圆上,直线与倾斜角的差为,△的面积是20,离心率为,求椭圆的标准方程.
6.已知椭圆的中心在原点,、为左右焦点,P为椭圆上一点,且,△的面积是,准线方程为,求椭圆的标准方程.
答案
1.解:
,.
故答案选D.
2.解:
设,,,.
故答案选A.
3.解:
,设,,
当△的面积最大时,为最大,这时点P为椭圆短轴的端点,,
4.解:
,,,
又,
,从而.
故答案选C.
5.解:
设,则.,
,即.
解得:
所求椭圆的标准方程为或.
6.解:
设,.
又,即.
或.
当时,,这时椭圆的标准方程为;
但是,此时点P为椭圆短轴的端点时,为最大,,不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为.
性质二:
有关角的问题
已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形,
若最大,则点P为椭圆短轴的端点。
问题1.椭圆的焦点为Fl、F2,点P为其上一点,当为直角时,点P的横坐标是_______。
问题2:
椭圆的焦点为Fl、F2,点P为其上动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是_______。
变式
1.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()(09江西)
A.B.C.D.
方法1:
设,则当时,点的轨迹方程为,由此可得的横坐标为
方法2:
利用性质一
方法3:
【分析】令|F1P|=m、|PF2|=6-m,
RtΔF1PF2中,由勾股定理可得m2+(6-m)2=20
问题分解:
设,则当时,点的轨迹方程为,
由此可得的横坐标为,所以点P横坐标的取值范围是
问题2.而此题为钝角,究竟钝角和直角有何联系?
解题的关键在于点动,发现的大小与点P的位置有关,
究竟有何联系,成了大家探索的焦点。
1.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(C)(09江西)
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