极坐标、参数方程题型总结Word格式文档下载.doc
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ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,半径为r:
ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:
ρ= ;
(3)当圆心位于M,半径为a:
ρ= .
3.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:
ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点:
θ=θ0和θ=π-θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:
ρcosθ=a;
(3)直线过M(b,)且平行于极轴:
ρsinθ=b.
4.常见曲线的参数方程的一般形式
(1)圆心在坐标原点,半径为r圆的参数方程为
圆心在,半径为r圆的参数方程为:
(2)椭圆的参数方程为:
(3)抛物线y2=2px的参数方程为(t为参数).
(4)在直线的参数方程(t为参数)中,
(1)t的几何意义是什么?
(2)如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2的距离?
t表示在直线上过定点P0(x0,y0)与直线上的任一点P(x,y)构成的有向线段P0P的数量.
|P1P2|=|t1-t2|=.
5.两个结论:
已知点
(1)
(2)
三、题型归纳
题型一:
参数方程化普通方程
例1.已知直线为参数),曲线(为参数).
(Ⅰ)设与相交于两点,求;
(Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
解.(I)的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,
则.----------5分
(II)的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是
由此当时,取得最小值,且最小值为.---------10分
训练1.已知极点与坐标原点O重合,极轴与x轴非负半轴重合,M是曲线C:
=4sin上任一点,点P满足.设点P的轨迹为曲线Q.
(1)求曲线Q的方程;
(2)设曲线Q与直线(t为参数)相交于A、B两点,且|AB|=4.求实数a.
(1)设,,①
则,代入①整理得,,
点轨迹方程为.……5分
(2)将为参数化为普通方程得,
由
(1)知曲线是圆心为,半径的圆,圆心到直线的距离.,解得或.……10分
2.曲线C:
曲线D:
。
(1)指出曲线C、D分别是什么曲线?
并说明曲线C与D公共点人的个数。
(2)若把曲线C、D上各点的纵坐标压缩为原来的倍,分别得到曲线C1、D1,请写出曲线C1、D1的参数方程,说明其公共点的个数和曲线C、D公共点是否相同?
3.点P为椭圆C:
上一点,若,求点P的坐标。
4.若直线与圆没有公共点,则实数m的范围是。
5.直线,曲线C:
(为参数).
(1)当求:
直线与曲线C的交点坐标。
6.直线l:
,圆C:
则圆心C到直线的距离是。
题型二:
普通方程化为参数方程
例2.点为椭圆上一点,求
(1)的范围;
(2)若垣成立,求a的范围。
训练1.直线过点,倾斜角,
(1)写出的参数方程;
(2)直线与圆相交于A、B两点,求。
题型三:
极坐标化直角方程
例3.已知某圆的极坐标方程为
(I)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;
(II)若点在该圆上,求的最大值和最小值.
解(Ⅰ);
………3分
(为参数)………5分
(Ⅱ)因为,所以其最大值为6,最小值为2……………10分求曲线
训练1.两圆的极坐标方程为。
(1)把它们化为直角坐标方程;
(2)求两圆的交点所在直线的直角坐标方程。
2.已知圆与直线相切,求实数a的值。
3.与曲线的交点的极坐标。
题型四:
综合运用
例4.已知曲线C:
和定点,分别是曲线C的左、右两个焦点。
(1)以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程;
(2)经过,且与直线垂直的直线交此曲线于两点,求的值。
训练1.已知曲线C极坐标方程为,设直线的参数方程是。
设直线与x轴相交于于为曲线C上的动点,求的最大值。
2.直线的参数方程是。
曲线C极坐标方程为。
设直线与曲线C相交于于两点,点。
求。
4.曲线C:
,M是曲线C上的动点,点P满足。
(1)求点P的轨迹D的曲线方程;
(2)射线与曲线C相交于异与极点的A点,与曲线D相交于异与极点的B点,,求.
5.曲线的参数方程为(为参数),将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(1)求曲线和直线的普通方程;
(2)为曲线上任意一点,求点P到直线的距离的最值.
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