数列综合测试题Word格式文档下载.doc
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9.在等比数列{an}中,若a3a5a7a9a11=32,则的值为( )
A.4B.2C.-2D.-4
10.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
11.已知{an}是递增数列,对任意的n∈N*,都有an=n2+λn恒成立,则λ的取值范围是( )
A.(-,+∞)B.(0,+∞)
C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)
12.已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2008项的和等于( )
A.1506B.3012C.1004D.2008
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)
13.已知数列{an}满足:
a1=m(m为正整数),an+1=,若a6=1,则m所有可能的取值为________.
14.已知数列{an}满足a1=,an=an-1+(n≥2),则{an}的通项公式为________.
15.已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn(n∈N*).若a1>
1,a4>
3,S3≤9,则通项公式an=________.
16.下面给出一个“直角三角形数阵”:
,
,,
…
满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*),则a83=________.
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>
0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式.
⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有,求c1+c2+c3+…+c2010的值.
18.(本小题满分12分)已知数列{an}中,其前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn>
57时n的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a≠0),不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,设数列{an}的前n项和为Sn=f(n).
(2)设各项均不为0的数列{cn}中,满足ci·
ci+1<
0的正整数i的个数称作数列{cn}的变号数,令cn=1-(n∈N*),求数列{cn}的变号数.
20.(本小题满分12分)已知数列{an}满足:
a1=1,a2=,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*.
(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=a2n-1·
a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.
21.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,)在直线y=x+上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=11,且其前9项和为153.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.
22.(本小题满分14分)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N).
(1)试判断数列{}是否为等差数列;
(2)若λan+≥λ,对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
数列综合测试题参考答案
一、选择题
CABDC DDDBD DA
二、填空题
13、4,5,32 14、an=- 15、n+1 16、
三、解答题
17.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>
0)解得d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1.
⑵当n=1时,c1=3当n≥2时,∵∴故
18.解:
(1)∵n,an,Sn成等差数列,
∴Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2),
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1 (n≥2),
∴an=2an-1+1 (n≥2),
两边加1得an+1=2(an-1+1) (n≥2),
∴=2 (n≥2).
又由Sn=2an-n得a1=1.
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴an+1=2·
2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由
(1)知,Sn=2an-n=2n+1-2-n,
∴Sn+1-Sn=2n+2-2-(n+1)-(2n+1-2-n)
=2n+1-1>
0,
∴Sn+1>
Sn,{Sn}为递增数列.
由题设,Sn>
57,即2n+1-n>
59.
又当n=5时,26-5=59,∴n>
5.
∴当Sn>
57时,n的取值范围为n≥6(n∈N*).
19.解:
(1)由于不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,
∴Δ=a2-4a=0⇒a=4,
故f(x)=x2-4x+4.
由题Sn=n2-4n+4=(n-2)2
则n=1时,a1=S1=1;
n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5,
故an=
(2)由题可得,cn=.
由c1=-3,c2=5,c3=-3,
所以i=1,i=2都满足ci·
当n≥3时,cn+1>
cn,且c4=-,
同时1->
0⇒n≥5,
可知i=4满足ci、ci+1<
0,n≥5时,均有cncn+1>
0.
∴满足cici+1<
0的正整数i=1,2,4,故数列{cn}的变号数为3.
20.解:
(1)经计算a3=3,a4=,a5=5,a6=.
当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列,
∴a2n-1=a1+(n-1)·
2=2n-1.
当n为偶数时,an+2=an,即数列{an}的偶数项成等比数列,
∴a2n=a2·
()n-1=()n.
因此,数列{an}的通项公式为an=
(2)∵bn=(2n-1)·
()n,
∴Sn=1·
+3·
()2+5·
()3+…+(2n-3)·
()n-1+(2n-1)·
()n,①
Sn=1·
()2+3·
()3+5·
()4+…+(2n-3)·
()n+(2n-1)·
()n+1,②
①②两式相减,
得Sn=1·
+2[()2+()3+…+()n]-(2n-1)·
()n+1
=+-(2n-1)·
=-(2n+3)·
()n+1.
∴Sn=3-(2n+3)·
()n.
21.解:
(1)由已知得=n+,
∴Sn=n2+n.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1
=n2+n-(n-1)2-(n-1)=n+5;
当n=1时,a1=S1=6也符合上式.
∴an=n+5.
由bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列,
由{bn}的前9项和为153,可得=9b5=153,
得b5=17,又b3=11,
∴{bn}的公差d==3,b3=b1+2d,
∴b1=5,
∴bn=3n+2.
(2)cn==(-),
∴Tn=(1-+-+…+-)
=(1-).
∵n增大,Tn增大,
∴{Tn}是递增数列.
∴Tn≥T1=.
Tn>对一切n∈N*都成立,只要T1=>,
∴k<19,则kmax=18.
22.解:
(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得-=3(n≥2),
故数列{}是等差数列.
(2)将an==代入λan+≥λ并整理得λ(1-)≤3n+1,
∴λ≤,原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.
设Cn=,则Cn+1-Cn=>
0,故Cn+1>
Cn,
∴Cn的最小值为C2=,
∴λ的取值范围是(-∞,].
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