数列型不等式的放缩技巧九法Word文档下载推荐.doc
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例4求证
简析本题可以利用的有用结论主要有:
法1利用假分数的一个性质可得
法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得
注:
例4是1985年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题;
进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
如理科题的主干是:
证明(可考虑用贝努利不等式的特例)
例5已知函数
求证:
对任意且恒成立。
(90年全国卷压轴题)
简析本题可用数学归纳法证明,详参高考评分标准;
这里给出运用柯西()不等式的简捷证法:
而由不等式得
(时取等号)
(),得证!
例6已知用数学归纳法证明;
对对都成立,证明(无理数)(05年辽宁卷第22题)
解析结合第问结论及所给题设条件()的结构特征,可得放缩思路:
。
于是,
即
注:
题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;
当然,本题还可用结论来放缩:
,
例7已知不等式表示不超过的最大整数。
设正数数列满足:
求证(05年湖北卷第(22)题)
简析当时,即
于是当时有
注:
①本题涉及的和式为调和级数,是发散的,不能求和;
但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩;
②引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有利于培养学生的学习能力与创新意识。
例8设,求证:
数列单调递增且
解析引入一个结论:
若则(证略)
整理上式得(),以代入()式得即单调递增。
以代入()式得
此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。
①上述不等式可加强为简证如下:
利用二项展开式进行部分放缩:
只取前两项有对通项作如下放缩:
故有
②上述数列的极限存在,为无理数;
同时是下述试题的背景:
已知是正整数,且
(1)证明;
(2)证明(01年全国卷理科第20题)
简析对第
(2)问:
用代替得数列是递减数列;
借鉴此结论可有如下简捷证法:
数列递减,且故即。
当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!
详见文[1]。
二部分放缩
例9设求证:
解析又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,
于是
例10设数列满足,当时证明对所有有;
(02年全国高考题)
解析用数学归纳法:
当时显然成立,假设当时成立即,则当时,成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得
注:
上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:
;
证明就直接使用了部分放缩的结论。
三添减项放缩
上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。
例11设,求证.
简析观察的结构,注意到,展开得
,
即,得证.
例12设数列满足(Ⅰ)证明对一切正整数成立;
(Ⅱ)令,判定与的大小,并说明理由(04年重庆卷理科第(22)题)
简析本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
法1用数学归纳法(只考虑第二步);
法2
则
四利用单调性放缩
1.构造数列
如对上述例1,令则,
递减,有,故
再如例4,令则,即递增,有,得证!
注:
由此可得例4的加强命题并可改造成为探索性问题:
求对任意使恒成立的正整数的最大值;
同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论,读者不妨一试!
2.构造函数
例13已知函数的最大值不大于,又当时(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,证明(04年辽宁卷第21题)
解析(Ⅰ)=1;
(Ⅱ)由得且用数学归纳法(只看第二步):
在是增函数,则得
例14数列由下列条件确定:
,.(I)证明:
对总有;
(II)证明:
对总有(02年北京卷第(19)题)
解析构造函数易知在是增函数。
当时在递增,故
对(II)有,构造函数它在上是增函数,故有,得证。
①本题有着深厚的科学背景:
是计算机开平方设计迭代程序的根据;
同时有着高等数学背景—数列单调递减有下界因而有极限:
②是递推数列的母函数,研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。
类题有06年湖南卷理科第19题:
已知函数,数列{}满足:
证明:
(ⅰ);
(ⅱ).(证略)
五换元放缩
例15求证
简析令,这里则有
,从而有
注:
通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
例16设,,求证.
简析令,则,,应用二项式定理进行部分放缩有
,注意到,则(证明从略),因此
六递推放缩
递推放缩的典型例子,可参考上述例10中利用部分放缩所得结论进行递推放缩来证明,同理例6中所得和、例7中、例12(Ⅰ)之法2所得都是进行递推放缩的关键式。
七转化为加强命题放缩
如上述例10第问所证不等式右边为常数,难以直接使用数学归纳法,我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题:
再用数学归纳法证明此加强命题,就容易多了(略)。
例17设,定义,求证:
对一切正整数有
解析用数学归纳法推时的结论,仅用归纳假设及递推式
是难以证出的,因为出现在分母上!
可以逆向考虑:
故将原问题转化为证明其加强命题:
对一切正整数有(证明从略)
例18数列满足证明(01年中国西部数学奥林匹克试题)
简析将问题一般化:
先证明其加强命题用数学归纳法,只考虑第二步:
因此对一切有
例19已知数列{an}满足:
a1=,且an=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
对一切正整数n有a1·
a2·
……an<
2·
n!
(06年江西卷理科第22题)
解析:
(1)将条件变为:
1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³
1)……1°
(2)证:
据1°
得,a1·
…an=,为证a1·
只要证nÎ
N*时有>
……2°
显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式:
对每个nÎ
N*,有³
1-()……3°
(用数学归纳法,证略)利用3°
得,³
1-()=1-=1->
故2°
式成立,从而结论成立。
八分项讨论
例20已知数列的前项和满足
(Ⅰ)写出数列的前3项;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:
对任意的整数,有(04年全国卷Ⅲ)
简析(Ⅰ)略,(Ⅱ);
(Ⅲ)由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:
当且为奇数时
(减项放缩),于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时(添项放缩)由①知由①②得证。
九数学归纳法
例21(Ⅰ)设函数,求的最小值;
(Ⅱ)设正数满足,证明
(05年全国卷Ⅰ第22题)
解析这道高考题内蕴丰富,有着深厚的科学背景:
直接与高等数学的凸函数有关!
更为深层的是信息科学中有关熵的问题。
(Ⅰ)略,只证(Ⅱ):
法1由为下凸函数得
又,
所以
考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森(jensen)不等式(若为上的下凸函数,则对任意,有特别地,若则有
若为上凸函数则改“”为“”)的证明思路与方法有:
法2(用数学归纳法证明)(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立.
(ii)假定当时命题成立,即若正数,
当时,若正数(*)
为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段:
令
则为正数,且
由归纳假定知
(1)
同理,由得
(2)
综合
(1)
(2)两式
即当时命题也成立.根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.
法3构造函数
利用(Ⅰ)知,
当对任意
.②(②式是比①式更强的结果)下面用数学归纳法证明结论.
(i)当n=1时,由(I)知命题成立.
(ii)设当n=k时命题成立,即若正数
对(*)式的连续两项进行两两结合变成项后使用归纳假设,并充分利用②式有
由归纳法假设
得
即当时命题也成立.所以对一切正整数n命题成立.
式②也可以直接使用函数下凸用(Ⅰ)中结论得到;
为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合:
而变成项;
本题可作推广:
若正数满足,则
(简证:
构造函数,易得
故)
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