数列大题专题训练1(老师版)Word格式.docx
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(1)由题意可知:
;
(2)由
,再由错位相减法求得,
为递增数列当时,.又原命题可转化的最大值为.
(1)由题意可知:
即,于是.
(2),
①,②
①-②得:
,
恒成立,只需,
为递增数列,当时,的最大值为.
1、等差数列;
2、等比数列;
3、数列的前项和;
4、数列与不等式.
【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式,涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.第二小题首先由
再由错位相减法求得为递增数列当时,.再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为.
3.已知数列中,,其前项和满足,其中.
(1)求证:
数列为等差数列,并求其通项公式;
(2)设,为数列的前项和.
①求的表达式;
②求使的的取值范围.
(1)证明见解析;
(2)①;
②,且.
(1)借助题设条件运用错位相减法推证;
(2)借助题设运用函数的单调性探求.
(1)由已知,,即,
,∴数列是以为首项,公差为的等差数列,∴.
(2)∵,∴,
,①
,②
①-②得:
,
∴代入不等式得,即,
设,则,
∴在上单调递减,
∵,
∴当时,,当时,,
所以的取值范围为,且.
等差数列等比数列及函数的单调性等有关知识的综合运用.
4.为等差数列的前项和,且,,记.其中表示不超过的最大整数,如,.
(1)求;
(2)求数列的前1000项和.
(1),,;
(2)1893.
(1)先求公差、通项,再根据已知条件求;
(2)用分段函数表示,再由等差数列的前项和公式求数列的前1000项和.
(1)为等差数列的前项和,且,,.
可得,则公差,,
,则,
.
(2)由
(1)可知:
,,
,.
数列的前1000项和为:
1、新定义问题;
2、数列求和.
【技巧点睛】解答新颖的数学题时,一是通过转化,化“新”为“旧”;
二是通过深入分析,多方联想,以“旧”攻“新”;
三是创造性地运用数学思想方法,以“新”制“新”,应特别关注创新题型的切入点和生长点.
5.已知数列的前项和为,且(),数列满足().
(1)求,;
(2)求数列的前项和.
(1),,;
(2),.
(1)由可得,当时,可求,当时,由可求通项进而可求;
(2)由
(1)知,,利用乘公比错位相减法求解数列的和.
(1)由,得当时,;
当时,,
所以,.
由,得,.
(2)由
(1)知,,
所以
所以.
故,
等差数列与等比数列的通项公式;
数列求和.
6.已知等比数列的公比,且成等差数列,数列满足:
(1)求数列和的通项公式;
(2)若恒成立,求实数的最小值.
(1)数列是首项为,公比为的等比数列,运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解方程可得,再将换为,两式相减可得;
(2)若恒成立,即为的最大值,由作差,判定函数的单调性,即可得到最大值,进而得到的最小值.
(1)因为等比数列满足:
成等差数列,
所以:
,即,
,所以(因为)
所以,
因为:
所以当时,有,②
所以,当时也满足,所以.
(2)若恒成立,则恒成立,
令,则.
当时,.
所以的最大值为,所以,的最小值为.
等比数列的通项公式;
数列的求和.
7.已知数列,,其前项和满足,其中.
(1)设,证明:
数列是等差数列;
(2)设,为数列的前项和,求证:
;
(3)设(为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有成立.
(2)证明见解析;
(3).
(1)借助题设条件运用等差数列的定义推证;
(2)依据题设运用错位相减法推证;
(3)借助题设建立不等式分类探求.
(1)当时,,∴,
∴,即,
∴(常数),
又,∴是首项为2,公差为1的等差数列,.
(2),
相减得,
∴.
(2)由得,
当为奇数时,,∴;
当为偶数时,,∴,
又为非零整数,
等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用.
【易错点晴】本题以数列的前项和与通项之间的关系等有关知识为背景,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,借助数列前项和与通项之间的关系进行推证和求解.本题的第一问,利用等差数列的定义证明数列是等差数列;
第二问中则借助错位相减的求和方法先求出;
第三问是依据不等式成立分类推得参数的取值范围.
8.设数列的前项和为,已知.
(2)若,求数列的前项和.
(2).
(1)根据数列的递推关系式,可得,利用数列为等比数列,即可求解数列的通项公式;
(2)由
(1)得出,利用乘公比错位相减法,即可求解数列的前项和.
(1)∵,当时,,∴,
又,,∴,∴,
∴,即.
(2)∵,∴.
.
数列的求和;
数列的递推关系式.
9.已知数列的首项,且满足,.
(1)设,判断数列是否为等差数列或等比数列,并证明你的结论;
(2)求数列的前项和.
(1)构成以为首项,为公差的等差数列;
(2)
(1)对左右两边同时除以,那么构成了新数列即可求解;
(2)结合
(1)可求出数列的通项公式,进而利用错位相减的方法求出数列的前项和.
(1)∵,∴,
,
∴,∴构成以为首项,为公差的等差数列.
(2)由
(1)可知,所以
①
②
②-①得
∴
【考点】
(1)利用递推关系求通项公式;
(2)错位相消求数列前项和
10.为数列的前项和,已知,.
(2)设,求数列的前项和.
(1)根据条件等式分与,利用与的关系可求得数列的通项公式;
(2)首先结合
(1)求得的表达式,然后利用裂项法求和即可.
(1)依题意有①
当时,,得;
当时,②
有①②得,
因为,∴,
∴成等差数列,得.
1、数列的通项公式;
2、裂项法求数列的和.
11.已知数列是等比数列,满足,数列满足,且是等差数列.
(I)求数列和的通项公式;
(II)求数列的前n项和。
(Ⅰ);
(Ⅱ).
(Ⅰ)数列是等比数列,所以根据公式,求公比,根据首项和公比求通项公式,因为数列是等差数列,所以根据数列的首项和数列的第四项,求数列的公差,即求得数列的通项公式,最后再求得数列的通项公式;
(Ⅱ),所以根据分组转化法:
等差数列加等比数列求和.
(I)设等比数列的公比为q,由题意得,解得.
所以.
设等差数列的公差为d,
所以.即.解得.
从而
(II)由(I)知.
数列的前n项和为,数列的前n项和为
.
所以,数列的前n项和为.
1.等差,等比数列求和;
2.分组转化法求和.
12.设数列的前和为,.
数列为等差数列,并分别写出和关于的表达式;
(2)是否存在自然数,使得?
若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由;
(3)设,若不等式,对恒成立,求的最大值.
(1)证明见解析,;
(2);
(1)利用,求得,这是等差数列,故;
(2),这是等差数列,前向和为,故;
(3),利用裂项求和法求得,解得,故.
(1)由,得,相减得.
故数列是以为首项,
以公差的等差数列..
(2)由
(1)知,
由
得,即存在满足条件的自然数.
(3)
,即单调递增,故要使恒成立,只需成立,即.
故符合条件的最大值为.
数列的基本概念,数列求和,不等式.
13.设数列满足,.
(1)利用递推关系即可得出;
(2)结合
(1)可得,利用裂项相消求和.
(1)因为,,①
所以当时,.
当时,,②
①-②得,.
因为,适合上式,所以.
(2)由
(1)得,所以
(1)数列递推式;
(2)数列求和.
14.已知函数,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sn<对一切正整数n都成立,求最小的正整数m的值.
(1)由已知可得到数列的递推公式,递推公式两边取倒数,可得数列是等差数列,求出的通项公式进而可得数列的通项公式;
(2)由
(1)可得数列的通项公式,将其变形后利用“裂项相消法”求前项和,可得,只需即可(考虑为正整数).
(1)an+1=f(an)=,
取倒数,可得=+,
则,即有;
前n项和为
令≤,解得m≥2017,可得m的最小值为2018;
1、数列的递推公式及通项公式;
2、利用“裂项相消法”求数列前项和.
15.设数列{an}的前n项和为Sn,且首项a1≠3,an+1=Sn+3n(n∈N*).
数列{Sn-3n}是等比数列;
(2)若{an}为递增数列,求a1的取值范围.
(1)由,可得数列是公比为,首项为的等比数列;
(2)当时,,利用为递增数列,即可求解的取值范围.
(1)证明:
∵an+1=Sn+3n(n∈N*),∴Sn+1=2Sn+3n,
∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).又∵a1≠3,
∴数列{Sn-3n}是公比为2,首项为a1-3的等比数列.
(2)由
(1)得,Sn-3n=(a1-3)×
2n-1,∴Sn=(a1-3)×
2n-1+3n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)×
2n-2+2×
3n-1.
∵{an}为递增数列,
∴当n≥2时,(a1-3)×
2n-1+2×
3n>(a1-3)×
2
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