排列组合基本题型(教师)Word格式.doc
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排列组合基本题型(教师)Word格式.doc
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完成此事共分6步,第一步;
将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有种不同方案.
【变式2】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有
冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,故共有种不同的结果。
二.相邻问题捆绑法:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例2】五人并排站成一排,如果必须相邻且在的右边,那么不同的排法种数有
把视为一人,且固定在的右边,则本题相当于4人的全排列,种
【变式】
(四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,
种其中男生甲站两端的有,符合条件的排法故共有288
三.相离问题插空法:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再
把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例3】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种数是种
【变式1】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法(具体数字作答)
【变式2】高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出
顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是【解析】:
不同排法的种数为
丙丁
【变式3】某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是
依题,剩余两个工程与甲、乙、共形成5个位置,只需从5个位置中选出2个然后将剩余的两个工程排列即可,得种排法或者或者或者
【变式4】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,但是
赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,则该晚会的
节目单的编排总数为种.【解析】:
【变式5】.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏
或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所
以满足条件的关灯方案有10种.
说明:
一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可
使问题容易解决.
【变式6】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A,○*○*○*○,在四个空中分
别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A种,所以每个人左右两边都空位的排法有=24种.
解法2:
先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A=24种.
【变式7】停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
先排好8辆车有A种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空
档中任选一个,将空车位置插入有C种方法,所以共有CA种方法.
四.元素分析法(位置分析法):
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;
再排其它的元素。
【例4】2014年南京青奥会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别
从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有.
方法一:
从后两项工作出发,采取位置分析法。
方法二:
分两类:
若小张或小赵入选,则有选法;
若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种.
【变式1】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
老师在中间三个位置上选一个有种,4名同学在其余4个位置上有种方法;
所以共有种。
.
【变式2】有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
【解析】法一:
法二:
法三:
五.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
【例5】
(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
(2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为
(3)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
【解析】:
(1)前后两排可看成一排的两段,本题可看成6个不同的元素排成一排,共种
(2)答案:
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种,其余5个元素任排5个位置上有种,故共有种排法.
六.定序问题缩倍法(等几率法):
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【例6】.五人并排站成一排,如果必须站在的右边(可以不相邻)那么不同的排法种数是
在的右边与在的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即种
【变式1】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种插法?
法一:
法二:
【变式2】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C在
后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法?
【解析】:
法二:
七.标号排位问题(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第
二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
【例7】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
【解析】:
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;
第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×
3×
1=9种
【变式1】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是【解析】答案:
20种
【变式2】:
同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有
设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;
第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理,一共有种分配方式。
【变式3】:
五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,不同的站队方式共有
【解析】答案:
44种
八.不同元素的分配问题(先分堆再分配):
注意平均分堆的算法
【例8】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(3)分成每组都是2本的三个组;
(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本;
(5)分给5人每人至少1本。
(1)
(2)(3)(4)(5)
【变式1】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).
第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有;
第二步将分好的三组
分配到3个乡镇,其分法有所以满足条件得分配的方案有
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【变式2】5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有=60种,若是
1,1,3,则有=90种,所以共有150种
【变式3】将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为
【解析】:
70
【变式4】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教
师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有种方法,再将3组分到3个班,共有
种不同的分配方案
【变式5】某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,
则该外商不同的投资方案有
按条件项目可分配为与的结构,∴
【变式6】
(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为
答案:
240种
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有多少种?
【变式7】有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三
项任务,不同的选法种数是
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从
另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有种
【变式8】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少
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