抛物线复习(几个常见结论及其应用)文档格式.doc
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当AB⊥x轴时,直线AB方程为,则,,∴,同上也有:
。
例:
已知直线AB是过抛物线焦点F,求证:
为定值。
设,,由抛物线的定义知:
,,又+=,所以+=-p,且由结论一知:
则:
=(常数)
结论二:
(1)若AB是抛物线的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则(α≠0)。
(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。
(1)设,,设直线AB:
∴,,
∴。
易验证,结论对斜率不存在时也成立。
(2)由
(1):
AB为通径时,,的值最大,最小。
已知过抛物线的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为。
解:
由结论二,12=(其中α为直线AB的倾斜角),
则,所以直线AB倾斜角为或。
结论三:
两个相切:
(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
已知AB是抛物线的过焦点F的弦,求证:
(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
B
A
M
N
Q
P
y
x
O
F
(2)分别过A、B做准线的垂线,垂足为M、N,求证:
以MN为直径的圆与直线AB相切。
(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线,
垂足分别为M、P、N,连结AP、BP。
由抛物线定义:
,,
∴,
∴以AB为直径为圆与准线l相切
(2)作图如
(1),取MN中点P,连结PF、MF、NF,
∵,AM∥OF,∴∠AMF=∠AFM,∠AMF=∠MFO,
∴∠AFM=∠MFO。
同理,∠BFN=∠NFO,
∴∠MFN=(∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO)=90°
,
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°
,∴FP⊥AB
∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。
结论四:
若抛物线方程为,过(,0)的直线与之交于A、B两点,则OA⊥OB。
反之也成立。
设直线AB方程为:
,由得,△>
0,,
∵AO⊥BO,∴⊥∴
将,代入得,。
∴直线AB恒过定点(0,1)。
∴当且仅当k=0时,取最小值1。
结论五:
对于抛物线,其参数方程为设抛物线上动点坐标为,为抛物线的顶点,显然,即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率.
例 直线与抛物线相交于原点和点,为抛物线上一点,和垂直,且线段长为,求的值.
解析:
设点分别为,则,.
的坐标分别为...
练习:
1.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点,若线段与的长分别是,则=
【解析:
化为标准方程,得,从而.取特殊情况,过焦点的弦垂直于对称轴,则为通径,即,从而,故】
2.设抛物线的焦点为,经过点的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上,且轴.证明直线经过原点.
【证明:
抛物线焦点为.设直线的方程为,代入抛物线方程,得.若设,则. 轴,且点在准线;
又由,得, 故,即直线经过原点.】
3.已知抛物线的焦点是,准线方程是,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.
【解:
设是抛物线上的任意一点,由抛物线的定义得.
整理,得,此即为所求抛物线的方程.
抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线,因此有对称轴方程.
设对称轴与准线的交点为,可求得,于是线段的中点就是抛物线的顶点,坐标是】
备选
1.抛物线的顶点坐标是,准线的方程是,试求该抛物线的焦点坐标和方程.
解:
依题意,抛物线的对称轴方程为.
设对称轴和准线的交点是,可以求得.设焦点为,则的中点是,故得焦点坐标为. 再设是抛物线上的任一点,
根据抛物线的定义得,化简整理得,即为所求抛物线的方程.
例2已知为抛物线上两点,且,求线段中点的轨迹方程.
设,,
据的几何意义,可得.
设线段中点,则
消去参数得点的轨迹方程为.
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- 抛物线 复习 几个 常见 结论 及其 应用