必修二立体几何11道经典证明题Word文档格式.doc
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3.如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点不同于点),且为的中点.
求证:
(1)平面平面;
(2)直线平面.
4.如图,四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°
,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.
EF∥面PAD;
(2)证明:
面PDC⊥面PAD;
(3)求四棱锥P—ABCD的体积.
5.在如图所示的几何体中,四边形是正方形,
平面,,、、分别为、、的中点,且.
(I)求证:
平面平面;
(II)求三棱锥与四棱锥的体积
之比.
6.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC,AB=,CE=EF=1
(Ⅰ)求证:
AF//平面BDE;
(Ⅱ)求证:
CF⊥平面BDF;
7.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°
,BF=FC,H为BC的中点,
FH∥平面EDB;
AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
8.如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面平面.
9.如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.
(1)证明:
//平面;
(2)证明:
平面;
(3)当时,求三棱锥的体积.
10.如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:
(1)底面;
(2)平面;
(3)平面平面
11.(2013年山东卷)如图,四棱锥中,
,分别为
的中点
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
立体几何经典试题参考答案
1.【解析】
(Ⅰ)由题设知BC⊥,BC⊥AC,,∴面,又∵面,∴,
由题设知,∴=,即,
又∵,∴⊥面,∵面,
∴面⊥面;
(Ⅱ)设棱锥的体积为,=1,由题意得,==,
由三棱柱的体积=1,
∴=1:
1,∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:
1.
2.
【解析】
因为平面,
所以。
因为为△中边上的高,
因为,
所以平面。
(2)连结,取中点,连结。
因为是的中点,
所以。
因为平面,
所以平面。
则,
。
取中点,连结,。
因为是的中点,
因为,
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以。
因为,
所以平面,
3.【答案】证明:
(1)∵是直三棱柱,∴平面。
又∵平面,∴。
又∵平面,∴平面。
又∵平面,∴平面平面。
(2)∵,为的中点,∴。
又∵平面,且平面,∴。
又∵平面,,∴平面。
由
(1)知,平面,∴∥。
又∵平面平面,∴直线平面
4.如图,连接AC,
∵ABCD为矩形且F是BD的中点,
∴AC必经过F 1分
又E是PC的中点,
所以,EF∥AP 2分
∵EF在面PAD外,PA在面内,∴EF∥面PAD
(2)∵面PAD⊥面ABCD,CD⊥AD,面PAD面ABCD=AD,∴CD⊥面PAD,
又AP面PAD,∴AP⊥CD
又∵AP⊥PD,PD和CD是相交直线,AP⊥面PCD
又AD面PAD,所以,面PDC⊥面PAD
(3)取AD中点为O,连接PO,
因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形,所以PO⊥面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高
∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥P—ABCD的体积
5.
(I)证明:
由已知MA平面ABCD,PD
∥MA,
所以PD∈平面ABCD
又BC∈平面ABCD,
因为四边形ABCD为正方形,
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D,
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中,因为G平分为PC的中点,
所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF∈平面EFG,
所以平面EFG⊥平面PDC.
(Ⅱ)解:
因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,不妨设MA=1,
则PD=AD=2,ABCD
所以Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD,PD=8/3
由于DA⊥面MAB的距离
所以DA即为点P到平面MAB的距离,
三棱锥Vp-MAB=1/3×
1/2×
1×
2×
2=2/3,所以Vp-MAB:
Vp-ABCD=1:
4。
6.证明:
(Ⅰ)设AC于BD交于点G。
因为EF∥AG,且EF=1,AG=AG=1
所以四边形AGEF为平行四边形
所以AF∥EG
因为EG平面BDE,AF平面BDE,
所以AF∥平面BDE
(Ⅱ)连接FG。
因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
7.
8.
9.【答案】
(1)在等边三角形中,
在折叠后的三棱锥中
也成立,,平面,
平面,平面;
(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.
在三棱锥中,,②
(3)由
(1)可知,结合
(2)可得.
10.【答案】
(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点
所以AB∥DE,且AB=DE
所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD
所以BE∥平面PAD.
(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
11.略
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