必修一对数函数专题复习Word格式文档下载.docx
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34=81与4=log381这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax=N⇔x=logaN,从而得对数恒等式:
alogaN=N.
(2)“log”同“+”“×
”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
(3)根据对数的定义,对数logaN(a>
0,且a≠1)具有下列性质:
①零和负数没有对数,即N>
0;
②1的对数为零,即loga1=0;
③底的对数等于1,即logaa=1.
2.对数的运算法则
利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度.
(1)基本公式
①loga(MN)=logaM+logaN(a>
0,a≠1,M>
0,N>
0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和.
②loga=logaM-logaN(a>
0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数.
③logaMn=n·
logaM(a>
0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意M>
0,例如loga[(-3)×
(-4)]是存在的,但是loga(-3)与loga(-4)均不存在,故不能写成loga[(-3)×
(-4)]=loga(-3)+loga(-4).
②防止出现以下错误:
loga(M±
N)=logaM±
logaN,loga(M·
N)=logaM·
logaN,loga=,logaMn=(logaM)n.
3.对数换底公式
在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式:
logbN=(b>
0,且b≠1;
c>
0,且c≠1;
N>
0).
证明 设logbN=x,则bx=N.两边取以c为底的对数,
得xlogcb=logcN.所以x=,即logbN=.
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用.
由换底公式可推出下面两个常用公式:
(1)logbN=或logbN·
logNb=1(N>
0,且N≠1;
b>
0,且b≠1);
(2)logbnNm=logbN(N>
n≠0,m∈R)
对数与对数运算
(一)
【例题解析】
题型一 正确理解对数运算性质
例1、对于a>
0且a≠1,下列说法中,正确的是( )
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①与③ B.②与④ C.② D.①、②、③、④
题型二 对数运算性质的应用
例2、求下列各式的值:
(1)2log32-log3+log38-5log53;
(2)lg25+lg8+lg5·
lg20+(lg2)2;
(3).
题型三 对数换底公式的应用
例3、计算:
(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
题型四易错分析
例4、已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
【课堂练习】
1.对数式log(a-3)(7-a)=b,实数a的取值范围是( )
2.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是( )
A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.-a2+3a-1
3.log56·
log67·
log78·
log89·
log910的值为( )
A.1B.lg5C.D.1+lg2
4.已知loga(a2+1)<
loga2a<
0,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.C.D.(1,+∞)
5.已知函数f(x)=ax-1+logax(a>
0,a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2,则a的值为( )
A.4B.C.3D.
6.若方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·
lg5=0的两根为α,β,则αβ等于( )
A.lg7·
lg5B.lg35C.35D.
7.已知f(log2x)=x,则f=________.
8.log(-1)(+1)=________.
9.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgx=-2+0.7781,则x=________.
10.
(1)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log的值;
(2)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log365.
11.设a,b,c均为不等于1的正数,且ax=by=cz,++=0,求abc的值.
12.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根,试判定△ABC的形状.
对数与对数运算
(二)
题型一、对数式有意义的条件
例1 求下列各式中x的取值范围:
(1)log2(x-10);
(2)log(x-1)(x+2);
(3)log(x+1)(x-1)2.
变式1 在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是( )
A.a>
5或a<
2 B.2<
a<
5C.2<
3或3<
5D.3<
4
题型二、对数式与指数式的互化
例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式:
(1)54=625;
(2)log8=-3;
(3)-2=16;
(4)log101000=3.
题型三、对数恒等式的应用
例3
(1)alogab·
logbc·
logcN的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>
0);
(2)4(log29-log25).
【小结】
1.一般地,如果a(a>
0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.利用ab=N⇔b=logaN(其中a>
0,a≠1,N>
0)可以进行指数与对数式的互化.
3.对数恒等式:
alogaN=N(a>
0且a≠1).
一、选择题
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.100=1与lg1=0B.27-=与log27=-
C.log3=9与9=3D.log55=1与51=5
2.指数式b6=a(b>
0,b≠1)所对应的对数式是( )
A.log6a=aB.log6b=aC.logab=6D.logba=6
3.若logx(-2)=-1,则x的值为( )
A.-2B.+2C.-2或+2D.2-
4.如果f(10x)=x,则f(3)等于( )
A.log310B.lg3C.103D.310
二、解答题
1.求下列各式中x的值
(1)若log3=1,则求x值;
(2)若log2003(x2-1)=0,则求x值.
2.求x的值:
(1)x=log4;
(2)x=log9;
(3)x=71-log75;
(4)logx8=-3;
(5)logx=4.
对数与对数运算(三)
题型一、正确理解对数运算性质
例1 若a>
0,a≠1,x>
0,y>
0,x>
y,下列式子中正确的个数有( )
①logax·
logay=loga(x+y);
②logax-logay=loga(x-y);
③loga=logax÷
logay;
④loga(xy)=logax·
logay.
变式1 若a>
0且a≠1,x>
0,n∈N*,则下列各式正确的是( )
A.logax=-logaB.(logax)n=nlogaxC.(logax)n=logaxnD.logax=loga
题型二、对数运算性质的应用
例2 计算:
(1)log535-2log5+log57-log51.8;
(2)2(lg)2+lg·
lg5+;
(3)(lg5)2+lg2·
lg50.
题型三、换底公式的应用
例3
(1)设3x=4y=36,求+的值;
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
变式3
(1)设log34·
log48·
log8m=log416,求m;
(2)已知log1227=a,求log616的值.
1.对于同底的对数的化简常用方法是:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题.
3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.
1.lg8+3lg5的值为( )
A.-3B.-1C.1D.3
2.已知lg2=a,lg3=b,则log36等于( )
A.B.C.D.
3.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则2的值等于( )
A.2B.C.4D.
4.若2.5x=1000,0.25y=1000,则-等于( )
A.B.3C.-D.-3
5.设函数f(x)=logax(a>
0,且a≠1),若f(x1x2…x2005)=8,则f(x)+f(x)+…+f(x)的值等于( )
A.4B.8C.16D.2loga8
6.若26a=33b=62c,求证:
+=.
对数函数及其性质
1.对数函数的概念
形如y=logax(a>
0且a≠1)的函数叫做对数函数.
对于对数函数定义的理解,要注意:
(1)对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+∞);
(2)对数函数的解析式y=logax中,logax前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数a必须满足a>
0,且a≠1;
(3)以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx
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