高等数学教案.docx
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高等数学教案
高等数学教案
第1次课
学科
高等数学
(一)
课题
函数
周次
5
时数
2
授课班级
1202114
主要教学内容:
1、集合与区间
2、函数概念
3、函数的几种特性
4、反函数
5、复合函数·初等函数
教学目的和要求:
1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、理解函数的性质,掌握函数的四则运算。
3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
教学重点:
1、函数的概念
2、函数的特性
3、复合函数
教学难点:
1、函数的概念
2、函数的特性
教学方法与手段:
课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具:
传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教学过程
§1函数
一、集合与区间
1.集合概念
集合(简称集):
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.
元素:
组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为a∈M.
集合的表示:
列举法:
把集合的全体元素一一列举出来.
例如A={a,b,c,d,e,f,g}.
描述法:
若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为
A={a1,a2,⋅⋅⋅,an},
M={x|x具有性质P}.
例如M={(x,y)|x,y为实数,x2+y2=1}.
几个数集:
N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.
N={0,1,2,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅}.N+={1,2,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅}.
R表示所有实数构成的集合,称为实数集.
Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.
Z={⋅⋅⋅,-n,⋅⋅⋅,-2,-1,0,1,2,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅}.
Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.
子集:
若x∈A,则必有x∈B,则称A是B的子集,记为A⊂B(读作A包含于B)或B⊃A.
如果集合A与集合B互为子集,A⊂B且B⊂A,则称集合A与集合B相等,记作A=B.
若A⊂B且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.
不含任何元素的集合称为空集,记作∅.规定空集是任何集合的子集.
2.集合的运算
设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作A⋃B,即
A⋃B={x|x∈A或x∈B}.
设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作A⋂B,即
A⋂B={x|x∈A且x∈B}.
设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即
A\B={x|x∈A且x∉B}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.
集合运算的法则:
设A、B、C为任意三个集合,则
(1)交换律A⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A;
(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C),(A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);
(3)分配律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C),(A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);
(4)对偶律(A⋃B)C=AC⋂BC,(A⋂B)C=AC⋃BC.
(A⋃B)C=AC⋂BC的证明:
x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈AC且x∈BC⇔x∈AC⋂BC,所以(A⋃B)C=AC⋂BC.
直积(笛卡儿乘积):
设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A⨯B,即
A⨯B={(x,y)|x∈A且y∈B}.
例如,R⨯R={(x,y)|x∈R且y∈R}即为xOy面上全体点的集合,R⨯R常记作R2.
3.区间和邻域
有限区间:
设a
(a,b)={x|a 类似地有 [a,b]={x|a≤x≤b}称为闭区间, [a,b)={x|a≤x 其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b-a称为区间的长度. 无限区间: [a,+∞)={x|a≤x},(-∞,b]={x|x 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a). 设δ是一正数,则称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域,记作U(a,δ),即 U(a,δ)={x|a-δ ={x||x-a|<δ}. 其中点a称为邻域的中心,δ称为邻域的半径. 去心邻域(a,δ): (a,δ)={x|0<|x-a|<δ} 二、函数概念 1.函数概念 定义设数集D⊂R,则称映射f: D→R为定义在D上的函数,通常简记为 y=f(x),x∈D, 其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df=D. 应注意的问题: 记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x),x∈D”或“y=f(x),x∈D”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f. 函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“ϕ”等.此时函数就记作y=ϕ(x),y=F(x). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的. 函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数的定义域. 要使函数有意义,必须x≠0,且x2-4≥0. 解不等式得|x|≥2. 所以函数的定义域为D={x||x|≥2},或D=(-∞,2]⋃[2,+∞]). 单值函数与多值函数: 在函数的定义中,对每个x∈D,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x∈D,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=r2给出.显然,对每个x∈[-r,r],由方程x2+y2=r2,可确定出对应的y值,当x=r或x=-r时,对应y=0一个值;当x取(-r,r)内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数. 对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2+y2=r2给出的对应法则中,附加“y≥0”的条件,即以“x2+y2=r2且y≥0”作为对应法则,就可得到一个单值分支;附加“y≤0”的条件,即以“x2+y2=r2且y≤0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支. 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集 {P(x,y)|y=f(x),x∈D} 称为函数y=f(x),x∈D的图形.图中的Rf表示函数y=f(x)的值域. 函数的例子: 例.函数. 称为绝对值函数.其定义域为D=(-∞,+∞),值域为Rf=[0,+∞). 例.函数. 称为符号函数.其定义域为D=(-∞,+∞),值域为Rf={-1,0,1}. 例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x]. 函数 y=[x] 称为取整函数.其定义域为D=(-∞,+∞),值域为Rf=Z. ,[π]=3,[-1]=-1,[-3.5]=-4. 分段函数: 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例。 函数. 这是一个分段函数,其定义域为D=[0,1]⋃(0,+∞)=[0,+∞). 当0≤x≤1时,;当x>1时,y=1+x. 例如;;f(3)=1+3=4. 三、函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D,数集X⊂D.如果存在数K1,使对任一x∈X,有f(x)≤K1,则称函数f(x)在X上有上界,而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方. 如果存在数K2,使对任一x∈X,有f(x)≥K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是,函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. 如果存在正数M,使对任一x∈X,有|f(x)|≤M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.图形特点是,函数y=f(x)的图形在直线y=-M和y=M的之间. 函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1∈X,使|f(x)|>M. 例如 (1)f(x)=sinx在(-∞,+∞)上是有界的: |sinx|≤1. (2)函数在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界. 这是因为,对于任一M>1,总有x1: 使 所以函数无上界. 函数在(1,2)内是有界的. (2)函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为D,区间I⊂D.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1 f(x1) 则称函数f(x)在区间I上是单调增加的. 如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1 f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y=x2在区间(-∞,0]上是单调增加的,在区间[0,+∞)上是单调减少的,在(-∞,+∞)上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x∈D,则-x∈D).如果对于任一x∈D,有 f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数.
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