山东省高考数学试卷理科解析Word文档下载推荐.doc
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(0.16+0.08+0.04)×
2.5=0.7,
故自习时间不少于22.5小时的频率为:
0.7×
200=140,
D
4.若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是()
A.4 B.9 C.10 D.12
由约束条件作出可行域如图,
∵A(0,﹣3),C(0,2),
∴|OA|>|OC|,
联立,解得B(3,﹣1).
∵,
∴x2+y2的最大值是10.
5.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()
A.+π B.+π C.+π D.1+π
由已知中的三视图可得:
该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,
半球的直径为棱锥的底面对角线,
由棱锥的底底面棱长为1,可得2R=.
故R=,故半球的体积为:
=π,
棱锥的底面面积为:
1,高为1,
故棱锥的体积V=,
故组合体的体积为:
+π,
C
6.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当“直线a和直线b相交”时,“平面α和平面β相交”成立,
当“平面α和平面β相交”时,“直线a和直线b相交”不一定成立,
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件,
A
7.函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)的最小正周期是()
A. B.π C. D.2π
数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)=2sin(x+)•2cos(x+)=2sin(2x+),
∴T=π,
B
8.已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为()
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
∵4||=3||,cos<,>=,⊥(t+),
∴•(t+)=t•+2=t||•||•+||2=()||2=0,
解得:
t=﹣4,
9.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3﹣1;
当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);
当x>时,f(x+)=f(x﹣).则f(6)=()
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2
∵当x>时,f(x+)=f(x﹣),
∴当x>时,f(x+1)=f(x),即周期为1.
∴f(6)=f
(1),
∵当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),
∴f
(1)=﹣f(﹣1),
∵当x<0时,f(x)=x3﹣1,
∴f(﹣1)=﹣2,
∴f
(1)=﹣f(﹣1)=2,
∴f(6)=2.
D.
10.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,
则函数y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,
当y=sinx时,y′=cosx,满足条件;
当y=lnx时,y′=>0恒成立,不满足条件;
当y=ex时,y′=ex>0恒成立,不满足条件;
当y=x3时,y′=3x2>0恒成立,不满足条件;
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.执行如图的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为
∵输入的a,b的值分别为0和9,i=1.
第一次执行循环体后:
a=1,b=8,不满足条件a<b,故i=2;
第二次执行循环体后:
a=3,b=6,不满足条件a<b,故i=3;
第三次执行循环体后:
a=6,b=3,满足条件a<b,
故输出的i值为:
3,
故答案为:
3
12.若(ax2+)5的展开式中x5的系数是﹣80,则实数a=.
(ax2+)5的展开式的通项公式Tr+1=(ax2)5﹣r=a5﹣r,
令10﹣=5,解得r=2.
∵(ax2+)5的展开式中x5的系数是﹣80
∴a3=﹣80,
得a=﹣2.
13.已知双曲线E:
﹣=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是
令x=c,代入双曲线的方程可得y=±
b=±
,
由题意可设A(﹣c,),B(﹣c,﹣),C(c,﹣),D(c,),
由2|AB|=3|BC|,可得
2•=3•2c,即为2b2=3ac,
由b2=c2﹣a2,e=,可得2e2﹣3e﹣2=0,
解得e=2(负的舍去).
2.
14.在[﹣1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交”发生的概率为
圆(x﹣5)2+y2=9的圆心为(5,0),半径为3.
圆心到直线y=kx的距离为,
要使直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交,则<3,解得﹣<k<.
∴在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交相交的概率为=.
.
15.已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
当m>0时,函数f(x)=的图象如下:
∵x>m时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2,
∴y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,
必须4m﹣m2<m(m>0),
即m2>3m(m>0),
解得m>3,
∴m的取值范围是(3,+∞),
(3,+∞).
三、解答题,:
本大题共6小题,共75分.
16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+.
(Ⅰ)证明:
a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
由得:
;
∴两边同乘以cosAcosB得,2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB;
∴2sin(A+B)=sinA+sinB;
即sinA+sinB=2sinC
(1);
根据正弦定理,;
∴,带入
(1)得:
∴a+b=2c;
(Ⅱ)a+b=2c;
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=4c2;
∴a2+b2=4c2﹣2ab,且4c2≥4ab,当且仅当a=b时取等号;
又a,b>0;
∴;
∴由余弦定理,=;
∴cosC的最小值为.
17.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.
(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:
GH∥平面ABC;
(Ⅱ)已知EF=FB=AC=2AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.
证明:
(Ⅰ)取FC中点Q,连结GQ、QH,
∵G、H为EC、FB的中点,
∴GQ,QH∥,
又∵EFBO,∴GQBO,
∴平面GQH∥平面ABC,
∵GH⊂面GQH,∴GH∥平面ABC.
(Ⅱ)∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又∵OO′⊥面ABC,
∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OO′为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(,0,0),C(﹣2,0,0),B(0,2,0),O′(0,0,3),F(0,,3),
=(﹣2,﹣,﹣3),=(2,2,0),
由题意可知面ABC的法向量为=(0,0,3),
设=(x0,y0,z0)为面FCB的法向量,
则,即,
取x0=1,则=(1,﹣1,﹣),
∴cos<,>===﹣.
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角,
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为.
18.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
(Ⅰ)Sn=3n2+8n,
∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5,
n=1时,a1=S1=11,∴an=6n+5;
∵an=bn+bn+1,
∴an﹣1=bn﹣1+bn,
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1.
∴2d=6,
∴d=3,
∵a1=b1+b2,
∴11=2b1+3,
∴b1=4,
∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1;
(Ⅱ)cn===6(n+1)•2n,
∴Tn=6[2•2+3•22+…+(n+1)•2n]①,
∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1]②,
①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1)•2n+1]=12+6×
﹣6(n+1)•2n+1=(﹣6n)•2n+1=﹣3n•2n+2,
∴Tn=3n•2n+2.
19.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;
如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;
如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;
每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
(I)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个,乙猜对2个”,“甲猜对2个,乙猜对1个”,“甲猜对2个,乙猜对2个”三个基本事件,
故概率P=++=++=,
(II)“星队”两轮得分之和为X可能为:
0,1,2,3,4,6,
则P(X=0)==,
P(X=1)=2×
[+]=,
P(X=2)=+++=,
P(X=3)=2×
=,
P(X=4)=2×
[+]=
P(X=6)==
故X的分布列如下图所示:
X
0
1
2
3
4
6
P
∴数学期望EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+6×
==
20.已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.
(Ⅰ)解:
由f(x)=a(x﹣lnx)+,
得f′(x)=a(1﹣)+
==(x>0).
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