导数应用:含参函数的单调性讨论(一)Word文档格式.doc
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导数应用:含参函数的单调性讨论(一)Word文档格式.doc
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即的增区间是和;
II)当时
此时在和都是单调增函数,
在和都是单调减函数,
即的增区间为和;
的减区间为和.
步骤小结:
1、先求函数的定义域,
2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负),
3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况,
4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界),
5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并。
变式练习1:
讨论的单调性,求其单调区间
解:
此时在为单调增函数,
即的增区间为,不存在减区间;
II)当时;
此时在为单调增函数,
在是单调减函数,
即的增区间为;
的减区间为.
例2.讨论的单调性
解:
I)当时,恒成立(此时没有意义)
此时在为单调增函数,即的增区间为
II)当时,恒成立,
(此时不在定义域内,没有意义)
此时在为单调增函数,即的增区间为
III)当时,令
于是,当x变化时,的变化情况如下表:
(结合g(x)图象定号)
x
增↗
减↘
所以,此时在为单调增函数,在是单调减函数,
小结:
导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界,但要注意其定义域和连续性。
即先求出的零点,再其分区间然后定在相应区间内的符号。
一般先讨论无解情况,再讨论解过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根,但根实际上不在定义域内的),即根据零点个数从少到多,相应原函数单调区间个数从少到多讨论,最后区间(最好结合导函数的图象)确定相应单调性。
变式练习2.讨论的单调性
它与同号.
令,
当时,无解;
当时,(另一根不在定义域内舍去)
i)当时,恒成立(此时没有意义)
ii)当时,恒成立,
(此时方程判别式,方程无解)
iii)当时,
当x变化时,的变化情况如下表:
(结合g(x)图象定号)
一般最后要综合讨论情况,合并同类的,如i),ii)可合并为一类结果。
对于二次型函数(如)讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。
例3.求的单调区间
的定义域为R,
I)当时,在R上单调递减,减区间为R,无增区间。
II)当时,是开口向上的二次函数,
令,因此可知(结合的图象)
i)当时,
所以此时,的增区间为;
的减区间为
ii)当时,
求函数单调区间可化为导函数的正负讨论(即分讨论其相应不等式的解区间),常见的是化为二次型不等式讨论,当二次函数开口定且有两根时,一般要注意讨论两根大小(分大、小、等三种情况)。
含参二次不等式解时要先看能否因式分解,若能则是计算简单的问题,需看开口及两根大小,注意结合图象确定相应区间正负。
变式练习3.求的单调区间
是开口向上的二次函数,
I)当时,恒成立
所以此时在R上单调递增,增区间为R,无减区间。
II)当时
令
因此可知(结合的图象)与随x变化情况如下表
所以此时,的增区间为;
三次函数的导函数是常见二次函数,当二次函数开口定时对其正负进行讨论的,要根据判别式讨论:
无根的或两根相等的导函数只有一种符号,相应原函数是单调的较简单应先讨论;
然后再讨论有两不等根的,结合导函数图象列变化表,注意用根的符号代替复杂的式,最后结论才写回。
个别点处导数为0不影响单调性。
只有在某区间内导数恒为0时,相应区间内原函数为常数,一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况。
三、巩固作业:
1.已知函数,求的单调区间.
2.已知函数f(x)=x-ax+(a-1),讨论函数的单调性,求出其单调区间。
的定义域为.
(1)
(2)
①若即时,>
0,故在单调递增.
②若0<
即时,
由得,;
由得,
故在单调递减,在单调递增.
③若,即时,
综上所述,当,单调增区为,减区间是;
当时,的减区间是,增区间是;
当时,在定义域上递增,单调增区为(不存在减区间);
当时,的减区间是,在增区间是.
注意:
必须问什么答什么,分类讨论最后必须有综述.
5
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- 导数 应用 函数 调性 讨论
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