导数(题型完美版)Word格式文档下载.doc
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;
②求平均变化率:
③求极限,得导数:
。
也可称为三步法求导数。
【例1】已知函数在处可导,则:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)
【例2】求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【变式1】求下列函数导数:
(1)y=3x2+xcosx
(2)y=
(3)y=lgx-ex
(4)y=tanx.
【变式2】求下列函数的导数:
【例3】求下列函数的导数:
【变式3】求下列函数的导数:
(2)y=
(3).
【例4】已知,则_______.
【例5】
(逆用求导公式)
设,是上的可导函数,且,则当时,比较与的大小.
【变式4】是定义在上的非负可导函数,且满足,对任意的正数,若,比较与的大小.
【变式5】是定义在上的非负可导函数,且满足,对任意的正数,若,比较与的大小.
第二节导数的几何意义
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的_________,即k=f′(x0).函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为_____________________.
2.导数的物理意义
物体的运动方程s=s(t)在t=t0处的导数,就是物体在t0时刻的______________.
3.由导数的几何意义,求切线的斜率,即是求切点处所对应的导数.因此,求曲线在某点处的切线方程,可以先求函数在该点的导数,即为曲线在该点的切线的斜率,再用直线的点斜式形式,写出切线的方程,其步骤为:
(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0);
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
4.求曲线的切线方程需注意两点
(1)当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(垂直于x轴此时导数不存在)时,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线方程为x=x0;
(2)当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.
注意:
若在点(x0,f(x0))处切线l的倾斜角为,此时切线垂直于x轴,导数不存在,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线方程为x=x0.
5.导数几何意义应用的三个方面
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:
k=f′(x0);
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k;
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
【例1】已知曲线y=x3上一点P,求:
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
【变式1】已知:
曲线上一点,求:
点处的切线方程。
【例2】求曲线经过点的切线方程.
【变式2】已知:
函数,经过点作函数图象的切线,求:
切线的方程。
【变式3】已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
【例3】1.函数f(x)=的图象在点(1,-2)处的切线方程为( )
A.2x-y-4=0 B.2x+y=0
C.x-y-3=0 D.x+y+1=0
2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.
【变式4】1.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是( )
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
2.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )
A.x+y-1=0 B.x-y-1=0
C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
【例3】已知函数f(x)的导函数f′(x),且满足f(x)=2xf′
(1)+lnx,则f′
(1)=( )
A.-eB.-1C.1D.e
【变式5】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0B.1C.2D.3
【变式6】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标为________.
【例4】若对于曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为________.
【例5】已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:
y=kx+9,且f′(-1)=0.
(1)求a的值;
(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?
如果存在,求出k的值;
如果不存在,请说明理由.
【变式7】已知aÎ
R,函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程.
【变式8】已知函数,.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值.
第三节导数的应用
利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间(a,b)内可导,
(1)如果恒有,则函数在(a,b)内为增函数;
(2)如果恒有,则函数在(a,b)内为减函数;
(3)如果恒有,则函数在(a,b)内为常数函数。
(1)若函数在区间(a,b)内单调递增,则,若函数在(a,b)内单调递减,
则。
(2)或恒成立,求参数值的范围的方法——分离参数法:
或。
题型一求函数的单调区间
【例1】思维辨析
(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>
0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(3)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法.( )
【例2】确定函数的单调区间.
【例3】
【变式1】求下列函数的单调区间:
【例4】已知函数,求函数的单调区间并说明其单调性。
【变式2】求函数(a∈R)的单调区间。
【变式3】
(a>0且a≠1)。
题型二函数单调性的证明
【例5】当时,求证:
函数是单调递减函数.
【变式4】当时,求证:
题型三含参的函数单调性的讨论(高考重要考点)
【例6】,求函数的单调性.
【变式5】求函数的单调性.
【变式6】
(2015•西宁校级模拟)已知函数,若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.
【例7】
(2015•宿州三模)已知,g(x)=x3+ax2-x+2.如果函数g(x)的单调递减区间为(,1),求函数g(x)的解析式.
【变式7】已知实数a>0,函数f(x)=a(x-2)2+2lnx.
(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[1,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
【变式8】已知函数,讨论函数的单调性.
题型四函数与导函数的图像
【例8】设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
y
x
O
A.
B.
C.
D.
【例9】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是( )
【变式9】
()如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )
A.在(-2,1)上f(x)是增函数B.在(1,3)上f(x)是减函数
C.当x=2时,f(x)取极大值D.当x=4时,f(x)取极大值
【变式10】设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象有可能是( )
1.函数的极值
一般地,设函数在点及其附近有定义,
(1)若对于附近的所有点,都有,则是函数的一个极大值,记作
(2)若对附近的所有点,都有,则是函数的一个极小值,记作
.极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
要点诠释:
由函数的极值定义可知:
(1)在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较.
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念;
在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
2.函数的最值
函数的最大值与最小值定理:
若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;
在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得;
②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。
3.函数极值与最值的简单应用
(1)不等式恒成立,求参数范围问题。
一些含参不等式,一般形如,
若能隔离参数,即可化为:
的形式。
若其恒成立,则可转化成,从而转化为求函数的最值问题。
若不能隔离参数,就是求含参函数的最小值,使。
所以仍为求函数的最值问题,只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
(2)证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时,一般形式为,则
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