如何求三角函数的最小正周期Word下载.doc

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（2）f（x）＝1-cos（4x）。

（3）f（x）＝tan（x）.

f（x）＝

解：

用T表示各函数的最小正周期，则：

（1）T==

T==

T==3π

f（x）的最小正周期和y1=1－2cot（2x－）的最小正周期相同，为T=

二定义法

根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。

例2求函数f（x）＝2sin（x－）的最小正周期。

解：

把x－看成是一个新的变量z,那么2sinz的最小正周期是2π。

由于z＋2π＝x-=（x＋4π）-。

所以当自变量x增加到x＋4π且必须增加到x＋4π时，函数值重复出现。

∴函数y=2sin（x-）的最小正周期是4π。

例3求函数f（x）＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。

根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。

设0＜T＜π是这个函数的周期，则|sin（x＋T）|－|cos（x＋T）|=|sinx|－|cosx|　　　①

对于任意x∈R都成立，特别的，当x=0时也应成立。

∴|sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。

但当0＜T＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1，矛盾，所以满足①且小于π的正数T不存在。

故函数f（x）＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。

三、最小公倍数法

求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。

例4求下列函数的最小正周期：

（1）f（x）＝sin3x+cos5x

（2）f（x）＝cosx－sinx.

（3）f（x）＝sinx＋tanx.

（1）∵sin3x的最小正周期为T1=,cos5x的最小正周期为T2=。

而和的最小公倍数是2π.

∴f（x）的最小正周期为T=2π.

（2）∵cosx的最小正周期为T1=，-sinx的最小正周期为T2=4π。

而和4π的最小公倍数是12π。

∴f（x）＝cosx－sinx的最小正周期为T=12π.

（3）∵sinx的最小正周期为T1=，tanx的最小正周期为T2=。

而和的最小公倍数是70π。

∴f（x）＝sinx＋tanx的最小正周期为T=70π.

说明：

几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。

四图象法

作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。

例5求下函数的最小正周期。

（1）y=|sin（3x＋）|

（2）y=|+sin2x|

（1）先作出函数y=|sin（3x＋）|的图象（见图1）

观察图象，易得所求的周期为T=。

（2）先作出y=|+sin2x|的图象（见图2）

观察图象，易得所求的周期为T=π。

五、恒等变换法

通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。

例6求下列函数的最小正周期：

（1）f（x）＝sin（x＋）cos（x－）

（2）f（x）＝sin6x＋cos6x

（3）f（x）＝

解

（1）f（x）＝sin（x＋）cos（x－）＝|sin2x+sin|=sin2x+

∴最小正周期为T=π

（2）f（x）＝sin6x+cos6x

=（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）

=（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）

=（sin2x+cos2x）2-3sin2xcos2x

=1-sin2x

=+cos4x

∴最小正周期为T=

（3）f（x）＝==

它与－cos2x的周期相同，故得f（x）的最小正周期为T=π

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