基本不等式以多元最值为背景的填空题Word文档格式.doc
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类型二放缩转换
若x,y,z均为正实数,且x2+y2+z2=1,则的最小值为 .
【解析】
当且仅当时取等号
【名师点睛】利用基本不等式消元是解题关键
【举一反三】已知A,B,C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,则y=+的最小值是________.
【答案】-
类型三分离转换
已知正数x,y满足,那么y的最大值为 .
【解析】
【名师点睛】运用分离变量法,将目标转化为求函数值域及解对应不等式
【举一反三】已知正实数a,b,c满足+=1,++=1,则实数c的取值范围是 .
【解析】,因为,所以
类型四设参转换
若实数x,y满足2x2+xy-y2=1,则的最大值为__________.
【解析】把2x2+xy-y2=1变为(x+y)(2x-y)=1,令2x-y=t,x+y=,由此解得x=,y=,把x,y代入得:
原式===,+≥2或+≤-2,所以原式的最大值为.
【名师点睛】引进参数不是增加元,而是巧妙消元
【举一反三】设实数x,y满足-y2=1,则3x2-2xy的最小值是__________.
【答案】4+6[来源:
Z.xx.k.Com]
【解析】由-y2=1,得=1,假设-y=m,+y=n,即mn=1,则x=m+n,y=.所以3x2-2xy=4m2+2n2+6mn≥2+6mn=4+6(当且仅当4m2=2n2时取等号).
类型五构造函数转换
若实数x,y满足x2-4xy+4y2+4x2y2=4,则当x+2y取得最大值时,的值为________.
【答案】2
【名师点睛】从式子结构出发寻找函数关系,关键熟练掌握代数关系.
【举一反三】已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为____________.
【答案】4+
【解析】将b=代入y=+=+,其中<
a<
1,求导得y′=-=0,则a=-+,代入y=+,得y的最小值为4+
类型六利用判别式转换
若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2),则x+的最大值为__________.
【答案】-1
【解析】设x+=t,将2xy-1=2yt-2代入已知等式,得(2ty-2)2=(5y+2)(y-2),去括号合并得(4t2-5)y2-8(t-1)y+8=0,由题意,此方程一定有解,则Δ=-2t2-4t+7≥0,得--1≤t≤-1.∵x,y>
0,∴t>
0,经检验得x+的最大值为-1.学科网
【名师点睛】本题是函数与方程思想的典型运用
【举一反三】在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式 2≥(m-2)·
+m(·
)·
(·
)对任意实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是__________.
【答案】-1
类型七利用线性规划转换
已知x、y∈R,满足2≤y≤4-x,x≥1,则的最大值为____________.
【答案】
【解析】由题易知==+,令t=,则由线性规划知t∈[,1],从而t+∈[2,].
【名师点睛】线性规划是解决有关最值问题的一个有效的方法
【举一反三】已知正数a,b,c满足:
5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则的取值范围是__________.
【答案】[e,7].
【解析】由5c-3a≤b≤4c-a及c>0,得
,①
由clnb≥a+clnc得:
≤lnb-lnc=
∴②
记,,则.
则①为:
5-3x≤y≤4-x③[来源:
学_科_网]
②为:
y≥ex④
如图画出两个不等式所表示的平面区域
而表示可行域内的点P(x,y)与原点连线l的斜率.
由得,故
由图知当直线l过点A时取得最大值,最大值为.
设过原点与y=ex相切的直线为y=kx,切点为(x0,y0)
由y′=ex知k=ex0=,∴x0=1
∴切点坐标为(1,e),切线方程为y=ex.
显然此时取得最小值,所以的取值范围为[e,7].
【精选名校模拟】
1.已知a,b为正实数,且a+b=1,则+的最小值为____________.
2.若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则的最小值为__________.
【答案】4
【解析】由log2x+log2y=1,得xy=2,===x-y+≥4,则的最小值为4.
3.已知正实数a,b满足9a2+b2=1,则的最大值为____________.
【解析】设3a=cosθ,b=sinθ,其中θ为锐角,=,设t=sinθ+cosθ,θ为锐角,则1<
t≤,sinθcosθ=,=,而1<
t≤,则的最大值为,此时t=.
4.已知正数x,y满足+=1,则+的最小值为____________.
【答案】25
【解析】由+=1,得x+y=xy,+=+=13++=13+=9x+4y=(9x+4y)=13++≥13+2=25.学科网
5.已知实数a,b,c满足a2+b2=c2,c≠0,则的取值范围为______________.
6.设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值是________.
【解析】由x2+2xy-1=0,得y=.故x2+y2=x2+=(5x2+)-≥.
7.已知实数x、y满足x>
y>
0,且x+y≤2,则+的最小值为________.
【解析】因为x>
0,且x+y≤2,则2x+2y≤4,+>0,所以4≥(2x+2y)=[(x+3y)+(x-y)]=2+++1≥3+2.
8.已知x,y为正实数,则+的最大值为________.
【解析】设m=4x+y>
0,n=x+y>
0,则x=,y=,+=-≤-=.
9.已知正实数x,y满足x++3y+=10,则xy的取值范围为________.
10.已知函数f(x)=3x+a与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点,则的最小值为________.
【答案】-1
【解析】由题知
又=
=,
当a>0时,b<-,c>-,
∴b+<-<0,c+>>0;
[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
当a<0时,b<-,c>-,
∴b+<<0,c+>->0;
当a=0时,b+<0,c+>0.
综上知,b+<0,c+>0.
设b+=x<0,c+=y>0,原式=,
∵(x-y)2=(|x|+|y|)2=x2+y2+2|xy|≥4|xy|,
∴-1≤<0,即原式最小值为-1.
11.设实数a、b、c满足a2+b2≤c≤1,则a+b+c的最小值为____________.[来源:
学§
科§
网]
【解析】由题知a+b+c≥a+b+a2+b2,
∵≥,
∴a2+b2≥,
从而a+b+c≥+(a+b)=(a+b+1)2-≥-,“=”当且仅当c=a2+b2,a=b,a+b=-1即a=b=-,c=时成立.
12.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为____________.
【答案】2-2
8
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- 关 键 词:
- 基本 不等式 多元 背景 填空
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