培优指数函数与对数函数Word文档格式.doc
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0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>
1
0<
a<
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
当x>
0时,y>
1;
当x<
0时,0<
y<
1当x<
在R上是增函数
在R上是减函数
二、对数
概念
如果ax=N(a>
0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.其中a叫做对数的底数,N叫做真数
底数的限制:
0,且a≠1
对数式与指数式的互化:
ax=N⇒logaN=x
负数和零没有对数,1的对数是零:
loga1=0
底数的对数是1:
logaa=1,对数恒等式:
alogaN=N
运
算
loga(M·
N)=logaM+logaN
0,且a≠1,M>
0,N>
loga=logaM-logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
换
底公式
公式:
logab=(a>
0,且a≠1;
c>
0,且c≠1;
b>
0)
推广:
logambn=logab;
logab=
2.对数函数的图象与性质
定义域:
值域:
过定点(1,0)
1时,y>
0
当0<
x<
1时,y<
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
一、选择题
1.设函数,若对于任意实数x恒成立,则实数b的取值范围是()
A.B.C.D.
2.函数是上的奇函数,满足,当∈(0,3)时,则当∈(,)时,=()
A.B.C.D.
3.设1<
a<
b<
a2,则在四个数2,logab,logba,logaba2中,最大的和最小的分别是()
(A)2,logba(B)2,logaba2(C)logab,logba(D)logab,logaba2
二、填空
4.已知a>
0,f(x)=,则f()+f()+…+f()=_________。
5.已知函数的定义域为,则实数的取值范围是________________________.
6.先将函数f(x)=ln的图像作关于原点的对称变换,然后向右平移1个单位,再作关于y=x的对称变换,则此时的图像所对应的函数的解析式是。
7.已知函数y=log[ax2+2x+(a–1)]的值域是[0,+∞]),则参数a的值是。
三、解答题
8.已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求;
(2)判断函数的单调性(不必证明)
(3)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.
9.已知函数,函数的最小值为.
(1)求的解析式;
(2)是否存在实数同时满足下列两个条件:
①;
②当的定义域为时,值域为?
若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由
10.函数在区间上恒有定义,求实数的取值范围.
11.(本题满分12分)已知函数,其中是大于0的常数
(1)设,判断并证明在内的单调性;
(2)当时,求函数在[2内的最小值;
(3)若对任意恒有,试确定的取值范围。
12.(12分)已知函数为奇函数,为常数.
(1)求的值;
(2)当时,是否存在最大值?
若存在,求出最大值,若不存在,请说明理由;
(3)设函数,当为何值时,不等式在有实数解?
13.(12分)函数y=f(x)满足lg(lgy)=lg3x+lg(3﹣x),
(1)求f(x);
(2)求f(x)的值域;
(3)求f(x)的递减区间.
14.已知二次函数在区间[2,3]上有最大值4,最小值1.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设.若在时恒成立,求的取值范围.
试卷答案
1.D
2.B
3.A
4.
5.或
6.y=ex
7.1–
8.解
(1)因为是R上的奇函数,所以
从而有…………………..3分
(2)由
(1)知
由的单调性可推知在R上为减函数…………………….3分
(3)解法一:
由
(1)知
由上式易知在R上为减函数,
又因是奇函数,从而不等式
等价于…….2分
因是R上的减函数,由上式推得
即对一切从而
………………………………………….…………2分
9.解析:
(1)由,知,令
............1分
记,则的对称轴为,故有:
①当时,的最小值
②当时,的最小值
③当时,的最小值
综述,............7分
(2)当时,.故时,在上为减函数.
所以在上的值域为.............9分
由题,则有,两式相减得,又
所以,这与矛盾.故不存在满足题中条件的的值.
10.解析:
设,则
在区间上恒有定义即在上恒成立.
当时,于上恒成立.
当时,的对称轴,在上单调增加,所以,
,
由,,所以.
当时,于上恒成立,则,
由,,得
,即;
由,得,
解得或,所以,或.
综上,.
11.解析:
(I)
,…………1分
(II)证明:
由(I)知:
,令
(III)对于[3,4]上的每一个x的值,不等式恒成立,
即:
恒成立…………10分
由(II)知:
在R上单调递增,
内单调递增,显然在[3,4]上递增,…………12分
,
…………14分
12.
(1)增函数,用定义证明.
(2)设,当,时
由
(1)知在上是增函数
∴在上是增函数
∴在上的最小值为
(3)对任意恒有,即对恒成立
∴,而在上是减函数
∴,∴
13.
13考点:
对数的运算性质;
指数函数综合题;
对数函数的图像与性质.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)由lg(lgy)=lg3x+lg(3﹣x),可得lg(lgy)=lg[3x(3﹣x)],0<x<3.lgy=3x(3﹣x),即可得出.
(2)令u=3x(3﹣x)=+,在上单调递增,在上单调递减;
而10u是增函数,即可得出,
(3)由
(2)可知:
函数f(x)的递减区间为.
解答:
(1)∵lg(lgy)=lg3x+lg(3﹣x),
∴lg(lgy)=lg[3x(3﹣x)],0<x<3.
∴lgy=3x(3﹣x),
∴f(x)=y=103x(3﹣x),x∈(0,3).
而10u是增函数.
∴,
∴f(x)的值域为.
点评:
本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.解:
(Ⅰ)∵
∴函数的图象的对称轴方程为
∴在区间[2,3]上递增。
依题意得
即,解得
∴
(Ⅱ)∵∴
∵在时恒成立,
即在时恒成立
∴在时恒成立
只需
令,由得
设
∵
当时,取得最小值0
∴
∴的取值范围为
略
9
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