圆锥曲线知识点总结与经典例题Word文件下载.doc
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1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>
|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0<
e<
1)
1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<
2a<
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件
点集:
({M||MF1+|MF2|=2a,|F1F2|<2a}.
{M||MF1|-|MF2|.
=±
2a,|F2F2|>2a}.
点集{M||MF|=点M到直线l的距离}.
图形
方
程
标准方程
(>
0)
(a>
0,b>
参数方程
(t为参数)
范围
─a£
x£
a,─b£
y£
b
|x|³
a,yÎ
R
x³
中心
原点O(0,0)
顶点
(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)
(a,0),(─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
x轴,y轴;
实轴长2a,虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0),F2(─c,0)
准线
x=±
准线垂直于长轴,且在椭圆外.
准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.
x=-
准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.
焦距
2c(c=)
离心率
e=1
焦半径
P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2分别为左、右焦点
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
P在右支时:
P在左支时:
|PF1|=a+ex0|PF1|=-a-ex0
|PF2|=-a+ex0|PF2|=a-ex0
|PF|=x0+
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:
双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.
⑷共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
.
⑸共渐近线的双曲线系方程:
的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.
【备注2】抛物线:
(1)抛物线=2px(p>
0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向右;
抛物线=-2px(p>
0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,开口向左;
抛物线=2py(p>
0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=- ,开口向上;
抛物线=-2py(p>
0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下.
(2)抛物线=2px(p>
0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离;
0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
(3)设抛物线的标准方程为=2px(p>
0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p.
(4)已知过抛物线=2px(p>
0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角),,(叫做焦半径).
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。
例1:
已知椭圆的焦点是F1(0,-1)、F2(0,1),P是椭圆上一点,并且PF1+PF2=2F1F2,求椭圆的标准方程。
解:
由PF1+PF2=2F1F2=2×
2=4,得2a=4.又c=1,所以b2=3.
所以椭圆的标准方程是+=1.
2.已知椭圆的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且2a=10,求椭圆的标准方程.
由椭圆定义知c=1,∴b==.∴椭圆的标准方程为+=1.
二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。
例:
1.椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
分析:
题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
(1)当为长轴端点时,,,
椭圆的标准方程为:
;
(2)当为短轴端点时,,,
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。
例.求过点(-3,2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程.
因为c2=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为+=1.由点(-3,2)在椭圆上知+
=1,所以a2=15.所以所求椭圆的标准方程为+=1.
四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为
中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
由题意,设椭圆方程为,
由,得,
∴,,
,∴,∴为所求.
五、求椭圆的离心率问题。
例已知椭圆的离心率,求的值.
解:
当椭圆的焦点在轴上时,,,得.由,得.
当椭圆的焦点在轴上时,,,得.
由,得,即.
∴满足条件的或.
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例:
1.若△ABC的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程。
顶点C到两个定点A,B的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离,因此顶点C的轨迹为椭圆,并且2a=10,所以a=5,2c=8,所以c=4,所以b2=a2-c2=9,故顶点C的轨迹方程为+=1.又A、B、C三点构成三角形,所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为+=1(y≠0)答案:
+=1(y≠0)
2.已知椭圆的标准方程是+=1(a>
5),它的两焦点分别是F1,F2,且F1F2=8,弦AB过点F1,求△ABF2的周长.
因为F1F2=8,即即所以2c=8,即c=4,所以a2=25+16=41,即a=,所以△ABF2的周长为4a=4.
3.设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1:
PF2=2:
1,求△PF1F2的面积.
解析:
由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴PF1+PF2=2a=6.又PF1∶PF2=2∶1,∴PF1=4,PF2=2,由22+42=
(2)2可知△PF1F2是直角三角形,故△PF1F2的面积为PF1·
PF2=×
2×
4=4.
七、直线与椭圆的位置问题
例已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程.
分析一:
已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求.
解法一:
设所求直线的斜率为,则直线方程为.代入椭圆方程,并整理得
.
由韦达定理得.
∵是弦中点,∴.故得.
所以所求直线方程为.
解法二:
设过的直线与椭圆交于、,则由题意得
①-②得.⑤
将③、④代入⑤得,即直线的斜率为.
所求直线方程为.
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.
由于,,则的取值范围为,,,分别进行讨论.
(1)当时,,,所给方程表示椭圆,此时,,,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).
(2)当时,,,所给方程表示双曲线,此时,,,,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),)(4,0).
(3),,时,所给方程没有轨迹.
说明:
将具有共同焦点的一系列圆锥曲线,称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些值,画出其图形,体会一下几何图形所带给人们的美感.
二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点,且焦点在坐标轴上.
(2),经过点(-5,2),焦点在轴上.
(3)与双曲线有相同焦点,且经过点
(1)设双曲线方程为
∵、两点在双曲线上,
∴解得
∴所求双曲线方程为
采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的.
(2)∵焦点在轴上,,
∴设所求双曲线方程为:
(其中)
∵双曲线经过点(-5,2),∴
∴或(舍去)
∴所求双曲线方程是
以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.
(3)设所求双曲线方程为:
∵双曲线过点,∴
∴或(舍)
(1)注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后,便有了以上巧妙的设法.
(2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.
三、求与双曲线有关的角度问题。
例3已知双曲线的右焦点分别为、,点在双曲线上的左支上且,求的大小.
一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形.
∵点在双曲线的左支上
∴
∵
(1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化.
(2)题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢?
请读者试探索.
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
例4已知、是双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,求的面积.
利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积.
∵为双曲线上的一个点且、为焦点.
∴,
∴在中,
双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.
五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5 已知两点、,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.
问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.
根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线.
∵,
∴所求方程为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线.
例:
是双曲线上一点,、是双曲线的两个焦点,且,求的值.
利用双曲线的定义求解.
在双曲线中,,,故.
由是双曲线上一点,得.
∴或.
又,得.
本题容易忽视这一条件,而得出错误的结论或.
六、求与圆有关的双曲线方程。
例6 求下列动圆圆心的轨迹方程:
(1)与⊙内切,且过点
(2)与⊙和⊙都外切.
(3)与⊙外切,且与⊙内切.
这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离.如果相切的⊙、⊙的半径为、且,则当它们外切时,;
当它们内切时,.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.
设动圆的半径为
(1)∵⊙与⊙内切,点在⊙外
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,且有:
,,
∴双曲线方程为
(2)∵⊙与⊙、⊙都外切
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,且有:
∴所求的双曲线的方程为:
(3)∵⊙与⊙外切,且与⊙内切
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,且有:
∴所求双曲线方程为:
(1)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法.
(2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小,提高了解题的速度与质量.
(3)通过以上题目的分析,我们体会到了,灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.
w.w.w.k.s.5.
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1指出抛物线
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- 圆锥曲线 知识点 总结 经典 例题