第十一章级数.docx

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第十一章级数

第十一章级数

1．写出下列级数的前5项：

（1）；

（2）；（3）；（4）

解答：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

所属章节：

第十一章第一节

难度：

一级

2．写出下列级数的通项：

（1）；

（2）；（3）

解答：

（1）；

（2）；

（3）。

所属章节：

第十一章第一节

难度：

一级

3．已知级数的部分和Sn，写出该级数，并求和：

（1）；

（2）；

解答：

（1）一般项为，，故该级数为，该级数的和为；

（2）一般项为，，故该级数为，该级数的和为。

所属章节：

第十一章第一节

难度：

一级

4．根据定义求出下列级数的和：

（1）；

（2）；（3）；（4）

解答：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

所属章节：

第十一章第一节

难度：

一级

5．证明下列级数发散：

（1）；

（2）；（3）；（4）

解答：

（1）由于，所以级数发散；

（2）由于，所以级数发散；

（3）由于，所以级数发散；

（4）由于，所以级数发散。

所属章节：

第十一章第一节

难度：

一级

6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）；（8）；（9）（第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？

建议移至第7大题第7小题）

参考答案：

（1）发散；

（2）收敛；（3）发散；（4）收敛；（5）发散；（6）发散；（7）当a>1时收敛，当a≤1时发散；（8）收敛（参考答案有误？

）；（9）当a

解答：

（1）由于，而级数发散，故正项级数发散；

（2）由于，而级数收敛，故正项级数收敛；

（3）由于，所以正项级数发散；

（4）由于，所以正项级数收敛；

（5）由于，而级数发散，所以正项级数发散；

（6）由于，所以正项级数发散；

（7）当时，由于，所以正项级数收敛，

当时，由于，所以正项级数发散；

（8）由于，而调和级数发散，所以正项级数发散；

（9）当时，由于，所以原级数收敛，

当时，由于，所以原级数发散。

（注：

本题已改用比值判别法

所属章节：

第十一章第二节

难度：

二级

7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）；（8）；（9），其中an→a（n→∞），an、b、a均为正数

参考答案：

（1）收敛；

（2）收敛；（3）收敛；（4）发散；（5）收敛；（6）收敛（参考答案有误？

）；（7）收敛（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）；（8）收敛；（9）当ba时发散，当b=a时不能判定

解答：

（1）由于，

所以正项级数收敛；

（2）由于，

所以正项级数收敛；

（3）由于，

所以正项级数收敛；

（4）由于，

所以正项级数发散；

（5）由于，

所以正项级数收敛；

（6）由于，

所以正项级数发散；

（7）由于，而级数收敛，所以收敛；（注：

由于本题用比值判别法判别失效，本题已改用比较判别法）

（8）由于，

所以正项级数收敛；

（9）当时，由于，所以收敛，

当时，由于，所以发散，

当时，由于，所以的敛散性无法判定。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

二级

8．用积分判别法判别下列级数的敛散性：

（1）；

（2）；（3）；（4）

参考答案：

（1）发散；

（2）发散（原参考答案有误？

）；（3）收敛；（4）当p>1时收敛，当p≤1时发散

解答：

（1）由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散；

（2）由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；

（3）由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；

（4）当p>1时，由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛。

当时，由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散。

当时，由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散。

综合知，原级数当p>1时收敛，当p≤1时发散。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

二级

9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：

（1）；

（2）；（3）

解答：

（1）由于，

所以由比值判别法知正项级数级数收敛，

于是由级数收敛的必要条件知；

（2）由于，

所以由比值判别法知正项级数级数收敛，

于是由级数收敛的必要条件知；

（3）由于，

所以由比值判别法知正项级数级数收敛，

于是由级数收敛的必要条件知。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

二级

10．设an≥0，且收敛，证明也收敛

解答：

由于正项级数收敛，所以，存在正整数，当时，，从而当时，，由正项级数的比较判别法知，级数收敛。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

二级

11．设an≥0，且数列{nan}有界，证明也收敛

解答：

由于数列{nan}有界，存在正数，，从而，于是，而正项级数收敛，由正项级数的比较判别法知，级数收敛。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

三级

12．设an≥0，bn≥0，且和都收敛，证明和也都收敛

解答：

由于an≥0，bn≥0，且和都收敛，故由第10题结论知级数，收敛，又由于

，

所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛；

再利用，

所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

三级

13．设an≥0，且收敛，证明也收敛

解答：

由于an≥0，且收敛，故由第10题结论知级数收敛，结合级数收敛，并利用不等式

，

所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

三级

14．设和都是正项级数，如果，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。

解答：

由已知条件知，

或，

故由比较判别法知，当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

三级

15．设数列{nan}收敛，且级数收敛，证明级数也收敛。

解答：

设级数的部分和数列为，级数的部分和数列为，则

由于数列{nan}收敛，级数收敛，故数列、{nan}均收敛，由上式知数列收敛，从而数列收敛，于是级数收敛。

所属章节：

第十一章第二节

难度：

三级

16．判别下列交错级数的敛散性：

（1）；

（2）；（3）；（4）

解答：

（1）对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；

（2）对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；

（3）对于级数，由于，所以一般项不趋于零，故级数发散；

（4）对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；

所属章节：

第十一章第三节

难度：

一级

17．判别下列级数是否收敛？

如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

：

（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；（本题应为）

（7）；（8）

解答：

（1）对级数，由于，所以绝对收敛；

（2）对级数，由于，所以一般项不趋于零，故级数发散；

（3）对级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛，但是，其部分和数列发散，故原级数条件收敛；

（4）对级数，由于，所以原级数绝对收敛；

（5）对级数，由于，所以原级数绝对收敛；

（6）对级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛，

但是，由于级数发散，而，故原级数条件收敛；

（7）对级数，由于，故原级数绝对收敛；

（8）对级数，由于，，而收敛，故原级数绝对收敛。

所属章节：

第十一章第三节

难度：

二级

18．求下列级数的收敛域：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；

解答：

（1）由于对任意实数x，有，而级数收敛，故原级数的收敛域为–∞

（2）由于当|x|>1时，，此时原级数绝对收敛，当时，原级数一般项不趋于零，故原级数发散，所以原级数的收敛域为；

（3）由于当|时，，此时原级数绝对收敛，当或时，，原级数发散，当或时，易知原级数发散，所以原级数的收敛域为；

（4）由于，易知原级数的收敛域为x<0；

（5）由于，易知原级数的收敛域为x>0；

（6）由于当足够大时一般项为正，可看作正项级数，，易知原级数的收敛域为x>1。

所属章节：

第十一章第四节

难度：

二级

19．求下列幂级数的收敛域：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）

解答：

（1）由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数条件收敛，当时，原级数发散，故收敛域为–1

（2）由于，所以收敛半径为，而当时，原级数发散，故收敛域为；

（3）由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数绝对收敛，故收敛域为|x|≤1；

（4）由于，所以收敛半径为，而当时，原级数绝对收敛，故收敛域为；

（5）由于，所以收敛域为–∞

（6）由于，而当时，原级数发散，所以收敛域为；

（7）由于，而当时，原级数发散，当时，原级数条件收敛，所以收敛域为0≤x<6；

（8）由于，而当时，原级数发散，当时，原级数条件收敛，所以收敛域为4≤x<6；

（9）由于，所以收敛半径为1，

当p>1时，为收敛点，故收敛域为|x|≤1；

当0

当p≤0时，为发散点，故收敛域为|x|<1；

（10）由于，所以收敛半径为3，而当时，原级数发散，当时，原级数收敛，所以收敛域为–3≤x<3；

（11）由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数发散，故收敛域为–1

所属章节：

第十一章第五节

难度：

一级~二级

20．将下列函数在给定点x0处展开为幂级数：

（1）；

（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；

（8）；（9）；（10）；（第10小题是否应为？

以下按此进行解答）

解答：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）

；

（7）；

（8）

；

（9）

；

（10）由于，所以，

在两边两次积分，注意到，即有

；

所属章节：

第十一章第五节

难度：

二级

21．求下列级数的和：

（1）；

（2）；（3）

解答：

（1）由于，积分得

，

令，即得级数和为；

（2）由于，求导得

，

令，即得级数和为；

（3）由于，

求导得，

令，即得级数和为。

所属章节：

第十一章第五节

难度：

三级

22．求下列幂级数的和函数：

（1）；

（2）；（3）；（4）

解答：

（1）；

（2）设，则，在后式两边积分两次，即得

；

（3）设，则，两边求导得

；

（4）

，

（本题有误？

是否为？

如果题目是，则答案与原参考答案相同，解答见下）

所属章节：

第十一章第五节

难度：

三级

23．利用函数的幂级数求下列各数的近似值，精确到四位小数：

（1）；

（2）ln1.2；（3）cos2°

解答：

（1）；

（2）；

（3）cos2°。

所属章节：

第十一章第七节

难度：

二级

24．用幂级数表示下列积分：

（1）；

（2）；（3）

解答：

（1）；

（2）；

（3）

所属章节：

第十一章第七节

难度：

二级

25．利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值：

（1）（精确到10–4）；

（2）（精确到10–3）

解答：

（1）；

（2）。

所属章节：

第十一章第七节

难度：

二级

26．把下列周期为2π的函数展开为傅里叶级数，并写出级数在[–π，π]上的和函数：

（