原创高三导数压轴题题型归纳Word文档格式.doc
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。
(2)若可导函数在处取得极值,则。
反之,不成立。
(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。
(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:
恒成立(不恒为0).
(5)函数(非常量函数)在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。
(若为二次函数且I=R,则有)。
(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立
(7)若,恒成立,则;
若,恒成立,则
(8)若,使得,则;
若,使得,则.
(9)设与的定义域的交集为D,若D恒成立,则有
.
(10)若对、,恒成立,则.
若对,,使得,则.
若对,,使得,则.
(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,
若对,,使得=成立,则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
①②
1
x
x
+
≤
③④
⑤⑥
3.题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
例7(构造函数,最值定位)设函数(其中).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.
例8(分类讨论,区间划分)已知函数,为函数的导函数.
(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;
(2)若函数,求函数的单调区间.
例9(切线)设函数.
(1)当时,求函数在区间上的最小值;
(2)当时,曲线在点处的切线为,与轴交于点求证:
例10(极值比较)已知函数其中
⑴当时,求曲线处的切线的斜率;
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当时,求函数的单调区间与极值.
例11(零点存在性定理应用)已知函数
⑴若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;
⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线,证明:
在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.
例12(最值问题,两边分求)已知函数.
⑴当时,讨论的单调性;
⑵设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
例13(二阶导转换)已知函数
⑴若,求的极大值;
⑵若在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.
例14(综合技巧)设函数
⑴讨论函数的单调性;
⑵若有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:
是否存在,使得?
若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由.
②交点与根的分布
例15(切线交点)已知函数在点处的切线方程为.
⑴求函数的解析式;
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;
⑶若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
例16(根的个数)已知函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.
(I)求的最大值;
(II)若上恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数.
例17(综合应用)已知函数
⑴求f(x)在[0,1]上的极值;
⑵若对任意成立,求实数a的取值范围;
⑶若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
③不等式证明
例18(变形构造法)已知函数,a为正常数.
⑴若,且a,求函数的单调增区间;
⑵在⑴中当时,函数的图象上任意不同的两点,,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:
.
⑶若,且对任意的,,都有,求a的取值范围.
例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.
(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,设函数,若,求证
例20(绝对值处理)已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值.
(I)求实数的取值范围;
(II)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式;
(III)对于(II)中的函数,对任意,求证:
例21(等价变形)已知函数.
(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数在处取得极值,对,恒成立,
求实数的取值范围;
(Ⅲ)当且时,试比较的大小.
例22(前后问联系法证明不等式)已知,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1。
(I)求直线的方程及m的值;
(II)若,求函数的最大值。
(III)当时,求证:
例23(整体把握,贯穿全题)已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求在上的最大值;
(3)试证明:
对任意,不等式都成立(其中是自然对数的底数).
例24(化简为繁,统一变量)设,函数.
(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若无零点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若有两个相异零点,求证:
.
例25(导数与常见不等式综合)已知函数,其中为正常数.
(Ⅰ)求函数在上的最大值;
(Ⅱ)设数列满足:
,,
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:
对任意的,;
(Ⅲ)证明:
例26(利用前几问结论证明立体不等式)已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)如果对任意,都有不等式f(x)>
x+x2成立,求实数a的取值范围;
(III)设,证明:
+++…+<
例27已知函数.若函数满足下列条件:
①;
②对一切实数,不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)若对,恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)求证:
例28(数学归纳法)已知函数,当时,函数取得极大值.
(1)求实数的值;
(2)已知结论:
若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:
若,函数,则对任意,都有;
(3)已知正数,满足,求证:
当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有.
④恒成立、存在性问题求参数范围
例29(传统讨论参数取值范围)已知函数,(为自然对数的底数)
(1)当时,求的单调区间;
(2)对任意的恒成立,求的最小值;
(3)若对任意给定的,
使得成立,求的取值范围。
例30已知函数
(1)求证:
函数上是增函数.
(2)若上恒成立,求实数a的取值范围.
(3)若函数上的值域是,求实数a的取值范围.
例31已知函数.
(1)若为的极值点,求实数的值;
(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;
(3)当时,方程有实根,求实数的最大值.
例32(分离变量)已知函数(a为实常数).
(1)若,求证:
函数在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;
(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.
例33(多变量问题,分离变量)已知函数,.
(1)若函数依次在处取到极值.
①求的取值范围;
②若,求的值.
(2)若存在实数,使对任意的,不等式恒成立.求正整数的最大值.
例34(分离变量综合应用)设函数.
⑴若函数在处与直线相切:
①求实数的值;
②求函数在上的最大值;
⑵当时,若不等式≥对所有的都成立,求实数的取值范围.
例35(先猜后证技巧)已知函数
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域
(Ⅱ)确定函数f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.
(Ⅲ)若x>
0时恒成立,求正整数k的最大值.
例36(创新题型)设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>
0,x2>
0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离;
(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.
例37(创新题型)已知函数=,.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域;
(Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出的取值范围;
若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)给出如下定义:
对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中总能使得成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由.
例38(图像分析,综合应用)已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)不等式在上恒成立,求实数的范围;
(Ⅲ)方程有三个不同的实数解,求实数的范围.
⑤导数与数列
例39(创新型问题)设函数,,是的一个极大值点.
⑴若,求的取值范围;
⑵当是给定的实常数,设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?
若存在,求所有的及相应的;
若不存在,说明理由.
例40(数列求和,导数结合)给定函数
(1)试求函数的单调减区间;
(2)已知各项均为负的数列满足,求证:
;
(3)设,为数列的前项和,求证:
⑥导数与曲线新题型
例41(形数转换)已知函数,.
(1)若,函数在其定义域是增函数,求b的取值范围;
(2)在
(1)的结论下,设函数的最小值;
(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;
若不存在,请说明理由.
例42(全综合应用)已知函数.
(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由;
(2)定义,其中,求;
(3)在
(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.
⑦导数与三角函数综合
例43(换元替代,消除三角)设函数(),其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数的极大值和极小值;
(Ⅲ)当,时,若不等式对任意的恒成立,求的值。
例44(新题型,第7次晚课练习)设函数.
(1)讨论的单调性
(2)设,求的取值范围.
⑧创新问题积累
例45已知函数.
I、求的极值.
II、求证的图象是中心对称图形.
III、设的定义域为,是否存在.当时,的取值范围是?
若存在,求实数、的
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