南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试卷(WORD含答案)Word下载.doc

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O

成绩/分

（第3题图）

3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有▲．

k←1

开始

输出k

结束

S＞6

S←1

Y

N

S←S＋（k－1）2

k←k＋1

（第6题图）

4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲．

5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为▲．

6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为▲．

x

y

·

2

－2

（第7题图）

7．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如下图所示，则f（）的值为▲．

8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为▲．

9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲．

10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲．

11．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，3）作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲．

12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，当x＞0时，f（x＋1）＝f（x）＋f

（1），且．

若直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．

13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．

14．设函数f（x）＝ax＋sinx＋cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．（0，1]2．43．3004．5．26．47．1

8．9．10．60°

11．1或12．2－213．（，）14．[－1，1]

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，

P

B

C

D

E

A

（第15题图）

BP＝BC，E为PC的中点．

（1）求证：

AP∥平面BDE；

（2）求证：

BE⊥平面PAC．

15．证：

（1）设AC∩BD＝O，连结OE．

因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．

因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分

因为AP平面BDE，OE平面BDE，

所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分

（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分

因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．

因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，

所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分

因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．

因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．

因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分

16．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交

于点A（x1，y1），α∈（，）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B（x2，y2）．

（第16题图）

（1）若x1＝，求x2；

（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及

△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．

16．解：

（1）解法一：

因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．

所以sinα＝，cosα＝．………………………2分

所以x2＝cos（α＋）＝cosαcos－sinαsin＝－．…………………………………6分

解法二：

因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A（，），则＝（，），…………2分

＝（x2，y2），因为·

＝||||cos∠AOB，所以x2＋y2＝……4分

又x22＋y22＝1，联立消去y2得50x22－30x2－7＝0

解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－．………………………6分

解法三：

因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．因此A（，），所以tanα＝．………2分

所以tan（α＋）＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x……………4分

由得x＝±

，又x2＜0，所以x2＝－．…………………6分

（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α．…………………………………………8分

因为α（，），所以α＋（，）．

所以S2＝－sin（α＋）cos（α＋）＝－sin（2α＋）＝－cos2α．……………………………10分

因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－．…………………………………12分

所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．因为α（，），所以tanα＝2．………14分

17．（本小题满分14分）

M

（第17题图）

如图，经过村庄A有两条夹角为60°

的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：

千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．

解法一：

设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因为MN＝2，所以AM＝sin（120°

－θ）．………………2分

在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°

＋θ）．…………………6分

AP2＝AM2＋MP2－2AM·

MP·

cos∠AMP

＝sin2（120°

－θ）＋4－2×

2×

sin（120°

－θ）cos（60°

＋θ）………………………………8分

＝sin2（θ＋60°

）－sin（θ＋60°

）cos（θ＋60°

）＋4

＝[1－cos（2θ＋120°

）]－sin（2θ＋120°

＝－[sin（2θ＋120°

）＋cos（2θ＋120°

）]＋

＝－sin（2θ＋150°

），θ∈（0，120°

）．…………………………………………12分

当且仅当2θ＋150°

＝270°

，即θ＝60°

时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：

设计∠AMN为60°

时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分

第17题图

解法二（构造直角三角形）：

设∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分

在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，

AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，（θ≥时，结论也正确）．……………6分

AP2＝AD2＋PD2＝（sinθ＋2cosθ）2＋（2sinθ）2

＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分

＝·

＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

＝＋sin（2θ－），θ∈（0，）．…………………………12分

当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°

…………………………14分

解法三：

设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．

在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°

，

所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·

AN·

cos∠MAN，

即x2＋y2－2xycos60°

＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分

因为＝，即＝，

所以sinα＝y，cosα＝＝＝．…………………………………………6分

cos∠AMP＝cos（α＋60°

）＝cosα－sinα＝·

－·

y＝．……………………………8分

在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·

PM·

cos∠AMP，

即AP2＝x2＋4－2×

x×

＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．………………………………………12分

因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．

所以AP2≤12，即AP≤2．

当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．

答：

设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分

解法四（坐标法）：

以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．

设M（x1，0），N（x2，x