卓越联盟自主招生数学试题理科及答案Word文档下载推荐.docx
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4.已知函数..设为实数,若存在实数,使,则的取值范围是___________.
填空题(每题6分,共24分)
5.已知,分别在区间和内任取一个数,且取出的两数之和小于1的概率为.则的值为_______________.
6.设,为平面上夹角为()的两个单位向量,为平面上的一个固定点,为平面上任意一点,当时,定义为点的斜坐标.现有两个点,的斜坐标分别为,.则,两点的距离为______________.
7.若函数的图象的对称中心与轴距离最小的对称轴为,则实数的值为_____.
8.已知集合,满足,.若中元素的个数不是中的元素,中元素的个数不是中的元素,则满足条件的所有不同的集合的个数为___________.
解答题(共56分)
9.(13分)设,函数,.
(1)若,求在区间上的最大值.
(2)若,求与的值.
10.(13分)已知双曲线(,)的两条渐进线的斜率之积为,左右两支上分别由动点和.
(1)设直线的斜率为1,经过点,且,求实数的值.
(2)设点关于轴的对称点为.若直线,分别与轴相交于点,,为坐标原点,证明.
11.(15分)已知为上的可导函数,对任意的,有,.
(1)对任意的,证明:
();
(2)若,,证明,.
12.(15分)已知实数列满足,,,常数.对任意的,有.设为所有满足上述条件的数列的集合.
(1)求的值;
(2)设,,,且存在,使.证明:
;
(3)设集合,,求中所有正数之和.
附录2:
2014年卓越联盟自主招生数学参考答案
选择题(注:
1.答案:
.提示:
,把原式视作的三次多项式分解因式即可.
2.答案:
仔细算算.
3.答案:
原式视作的二次方程,判别式即可.
4.答案:
填空题
5.答案:
可转化为“线性规划+几何概型”问题.
6.答案:
显然.
7.答案:
8.答案:
44.提示:
按中元素个数(,,,…)逐个进行分类讨论.
解答题
9.答案:
(1);
(2),();
,.
提示:
.
10.答案:
(2)提示:
,再带入,即可.
11.提示:
(1)即证,构造函数,对求导证明在上单增即可.
(2)由条件知是上的单增函数,故不可能恒等于零.
如果存在正实数,及实数,使,则对任意,.
则当时,,与条件矛盾.
如果存在正实数,及实数,使,则对任意,存在,满足.则当时,,与条件也矛盾.
总之,题目中的条件永远不成立.故由于前提条件是假命题,从而不论结论是什么,都是真命题.
12.提示:
(1)化简,可得对任意正整数成立,左边在无穷大时是无穷小,所以.
(2)方法一:
假设是1,2,3,…,中满足中的最大角标.则
方法二:
假设是1,2,3,…,中满足中的最小角标,则().
(3)显然的前项和是正数,当且仅当,此时(,,…,)的符号随意.即:
,,,…,,.这样的数列共有个,若与符号相反,则进行配对(,,…,).于是,中所有元素之和为.
说明:
(1)第11题中的条件永远是假命题,这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之.
(2)第12题第2问中,取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零,取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路,应注意掌握.实际上,前者对应于的欧几里得赋值,后者对应于的赋值,这两个赋值数学本身的意义也很大.
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- 卓越 联盟 自主 招生 数学试题 理科 答案
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